Question

С решение, пожалуйста))
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ах^2+(4а-7)х+4а-5=0 имеет в точности один корень на отрезке [-4;0].

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x) = ax^2+(4a-7)x+4a-5$.

1. Если a = 0, то f(x) - прямая линия (имеет ровно одно пересечение с Ox). Проверим, входит ли он в промежуток: $-7x-5 = 0 Leftrightarrow x = -frac{5}{7}$ - подходит.

2. a > 0. Если абсцисса вершины параболы неотрицательна ($x_{0}geq 0Leftrightarrowfrac{7-4a}{2a}geq 0Leftrightarrow ain(0; frac{7}{4}]$), то

$left { {{f(0)}leq 0atop {f(-4)}geq 0} right. left { {{4a-5leq 0} atop {4a+23geq0} } right. left { {{aleqfrac{5}{4}} atop {ain[-frac{23}{4}; +infty)}} right. Rightarrow ain (0; frac{5}{4}]$

Если $x_{0}leq -4Leftrightarrowfrac{7-4a}{2a}leq -4Leftrightarrowfrac{7+4a}{2a}leq 0Leftrightarrow ain[-frac{7}{4}; 0)$, то ветви параболы будут направлены вниз, что не подходит для данного случая.

Если $-4leq x_{0}leq 0 Rightarrow left { {{ain(-infty; 0)cup[frac{7}{4}; +infty)} atop {ain(-infty; -frac{7}{4}]cup(0; +infty)}} right. Rightarrow ain[frac{7}{4}; +infty)$

$left { {{f(0)}leq 0atop {f(-4)}geq 0} right. Rightarrow ain (0; frac{5}{4}] Rightarrow ainvarnothing\ left { {{f(0)}geq0 atop {f(-4)}leq0} right. left { {{aleq -frac{23}{4}} atop {ageq frac{5}{4}}} right. Rightarrow ainvarnothing$

3. a < 0. Если $x_{0}geq 0$, то ветви направлены вверх.

Если $x_{0}leq 0 Rightarrow ain[-frac{7}{4}; 0)$, то $left { {{f(0)}leq 0 atop {f(-4)}geq 0} right. Rightarrow ain[-frac{7}{4}; 0)$

Если $-4leq x_{0}leq 0 Rightarrow ain(-infty; -frac{7}{4}]$, то

$left { {{f(0)}leq 0 atop {f(-4)}> 0} right. Rightarrow ain(-frac{23}{4}; -frac{7}{4}]\ left { {{f(0)}geq 0 atop {f(-4)}leq 0} right. Rightarrow ainvarnothing$

Ответ: $ain(-frac{23}{4}; frac{5}{4}]$