Question

С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной

линиями y = x^2-3*x, y = 4

Answer 1

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми: y = x^2 - 3x и y = 4.

Сначала найдем точки пересечения этих двух кривых. Приравняем выражения для y:

x^2 - 3x = 4

Получим квадратное уравнение:

x^2 - 3x - 4 = 0

Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня:

(x - 4)(x + 1) = 0

Из этого следует, что x = 4 или x = -1.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы будем интегрировать разность между верхней и нижней кривыми по переменной x.

Площадь фигуры может быть вычислена с использованием следующего двойного интеграла:

A = ∫[a,b]∫[g(x),h(x)] dy dx

где a и b - значения x для точек пересечения кривых, g(x) - уравнение нижней кривой, h(x) - уравнение верхней кривой.

В данном случае нижняя кривая - y = x^2 - 3x, а верхняя кривая - y = 4.

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

A = ∫[-1,4]∫[x^2 - 3x,4] dy dx

Интегрируем по y:

A = ∫[-1,4] (4 - (x^2 - 3x)) dx

A = ∫[-1,4] (3x - x^2 + 4) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

A = [3/2x^2 - 1/3x^3 + 4x] [-1,4]

A = [(3/2 * 4^2 - 1/3 * 4^3 + 4 * 4) - (3/2 * (-1)^2 - 1/3 * (-1)^3 + 4 * (-1))]

A = [(3/2 * 16 - 1/3 * 64 + 16) - (3/2 - 1/3 - 4)]

A = [24 - 64/3 + 16 + 9/2 - 1/3 + 4]

A = 8/3 + 13/2 - 1/3 + 4

A = (16 + 39 - 2 + 36) / 6

A = 89/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 3x и y = 4, равна 89/6 или приближенно 14.83.