Геометрия, вопрос задал Аноним , 7 лет назад

Помогите пожалуйста решить

Приложения:

cos20093: Удивительно. :(( Я могу выложить десяток вариантов с разными углами. Если GeoGebra или Cinderella 2.0, то вообще все просто. Берется равнобедренный треугольник со стороной 14 и ЛЮБЫМ углом при вершине. Дальше простая задача - построить окружность проходящую через 2 точки и касающуюся прямой (основания). У меня перед глазами картинка, где я могу руками менять угол.

cos20093: Я тут подумал - может там считается, что это точно полуокружность?

Andr1806: Да, там так и считается. По GeoGebra быстро построилось с результатом примерно 4,1. Только "тянул" я за один из углов при основании. Но вот решения не нашел. Завяз в тригонометрии... Большое спасибо за решение и комментарии.

cos20093: А зная ответ, я быстро нашел очень простое решение. Есть два соотношения 1) (2b - p - q)cos(α) = 2rcos(φ); это просто отрезок UV на чертеже, b = 14 p =4 q = 5. 2) чуть сложнее, но не намного. Если из точки касания провести перпендикуляр к KL, то это будет высота в прямоугольном треугольнике KLP. А простое сравнение углов показывает, что KP биссектриса угла LKU, а LP - угла KLV

cos20093: Поэтому эта высота делит KL на отрезки равные KU и LV, то есть является их средним геометрическим. rcos(φ) = (√pq)sin(α); и сразу получается tg(α)=(2b - p - q)/(2√(pq)); и без всякой тригонометрии.

cos20093: Сравнение углов - это там вписанные углы и углы между секущей и касательной, плюс кругом прямоугольные треугольники.

cos20093: Вы обратите внимание на решение в трех последних комментариях - оно гораздо лучше того, что я опубликовал.

cos20093: Если честно, я сразу нашел, что расстояние от P до KL - среднее геометрическое KU и LV, и все время крутился вокруг решения, но сосредоточился на угле φ, а его совсем не обязательно было искать и использовать. Как только угол α найден, задача решена - см. 3) в опубликованном решении. Вот так бывает - более сложную связь я нашел, но не использовал, а более простую - увидел только после того, как вычислил ответ.

Ответы на вопрос

Ответил cos20093

Видимо мне придется потом извиняться за это решение :( Но, судя по всему, оно верное, хотя с таким объемом тригонометрии я давно не имел дело.

Я постарался нарисовать чертеж так, чтобы он соответствовал реальной картине. Мне понадобятся некоторые обозначения, которые неудобно было делать на чертеже.

Пусть ∠LQB = φ; ∠ACB = ∠ABC = α; KN = x; OL = y; MK = MP = ML = r;

По условию AB = AC = 14; AK = 10; AL = 9;

KU и LV перпендикулярны BC;

1) треугольники KCU и LVB подобны, поэтому KU/LV = 4/5;

=> QK/OL = KU/LV = 4/5; => QK = (4/5)*(QK+2r); => r = QK/8 = QM/9; (понятно, почему? :) QM = QK + r;)

=> sin(φ) = 1/9; cos(φ) = √80/9;

2) в треугольнике AKL KO и NL - высоты.

∠AKL = ∠QKC = ∠KCB - ∠KQC = α - φ; аналогично ∠ALK = α + φ; ∠CAB = π - 2α;

поэтому отрезки сторон можно выразить через углы и стороны

KN = x = 2r*cos(α - φ); AN = AL*cos(π - 2α);

OL = y = 2r*cos(α + φ); AO = AK*cos(π - 2α);

если подставить значения, то получится

10 + 9*cos(2α) = 2r*cos(α - φ);

9 + 10*cos(2α) = 2r*cos(α + φ);

ну вот что с этим делать :( делить, и срочно...

(10 + 9*cos(2α))/(9 + 10*cos(2α)) = cos(α - φ)/cos(α + φ);

Я не буду себя мучить выкладками, смысл очень простой - косинусы суммы и разности раскрываются, подставляются значения sin(φ) и cos(φ), умножается все на знаменатели, раскрываются скобки и приводятся подобные. Очень скоро получается

√80*cos(α)(1 - cos(2α)) - 19*sin(α)(1 + cos(2α))=0;

откуда √80/19*(1 - cos(2α))/(1 + cos(2α)) = tg(α);

В дроби слева легко узнать квадрат тангенса половинного угла, то есть

tg(α) = 19/√80; и, как нетрудно уже сосчитать, sin(α) = 19/21;

3) KU = KC*sin(α); LV = LB*sin(α); => r = (KU + LV)/2 = (19/21)*(4 + 5)/2 = 57/14;

ну, или 4 + 1/14; вот как-то так.

Жаль, что не нашлось менее тупого решения.

Приложения:

cos20093: Поскольку я когда-то был физиком, меня все время тянет понять "физический смысл". В ответе (точнее близко к нему) вылезает tg(α) = 19/√80; √80 понятно откуда берется - из отношения длины касательной QP/r; но вот откуда берется простое число 19? Особенно интересным это становится, если учесть, что PM не проходит через A. Где то на PM есть точка Z, так что ZP = 19r, и QZ II AC; .... все, я пошел спать :))))

cos20093: 19 = 10 + 9... :)))) смешно, однако. Что это, совпадение?

cos20093: В общем виде получилось tg(α) = ((AK + AL)/2)/√(KC*LB); так что не удивительно, что там получилось 10 + 9 = 19, так и должно. Жаль, что я не привел это выражение в решении. Интересно было бы покопать, нет ли тут более глубокого смысла. Но вообще эта задача мне здорово надоела.