Question

Объясните и решите четко и понятно чтобы я смог такие уравнения сам решать

Укажіть корінь рівняння |х^2-6х|=9, який належить проміжку (-2; 1].

Answer 1

Решение.

Решить уравнение c модулем    $\bf |x^2-6x|=9\ \ ,\ \ x\in (-2\ ;\ 1\ ]$  .  

Чтобы решить уравнение с модулем, надо знать , какого знака записано выражение под знаком модуля, так как , если выражение отрицательно, то модуль такого выражения равен противоположному выражению, то есть  $\bf |\, A\, |=-A$  ,  если  $\bf A < 0$  .   Если же выражение неотрицательно, то модуль такого выражения равен самому этому выражению, то есть  $\bf |\, A\, |=A$  ,  если  $\bf A\geq 0$  .  

Рассмотрим два случая .

$\bf 1)\ \ x^2-6x < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\, (x-6) < 0\ \ \Rightarrow \ \ x\in (\, 0\, ;\, 6\, )\\\\|x^2-6x|=-(x^2-6x)=-x^2+6x$  

Тогда уравнение примет вид  

$\bf -x^2+6x=9\ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-6x+9=0\ \ ,\ \ (x-3)^2=0\ \ ,\ \ x=3$  

Найденный корень  х = 3  не принадлежит промежутку, указанному в условии  ( -2 ; 1 ] .  

$\bf 2)\ \ x^2-6x\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\, (x-6)\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ x\in (-\infty ;\, 0\, ]\cup [\ 6\, ;+\infty \, )\ \ ,\\\\|x^2-6x|=x^2-6x$  

Тогда уравнение примет вид  

$\bf x^2-6x=9\ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-6x-9=0\ \ ,\ \ (x-3)^2-18=0\ \ ,\\\\\Big((x-3)-\sqrt{18}\Big)\Big((x-3)+\sqrt{18}\Big)=0\\\\\Big(x-3-\sqrt{18}\Big)\Big(x-3+\sqrt{18}\Big)=0\ \ \Rightarrow \\\\x_1=3+\sqrt{18}=3+3\sqrt2\approx 7,24\ \ \ ,\ \ \ x_2=3-3\sqrt2\approx -1,24\in (-2\ ;\ 1\ ]$  

Только второй корень принадлежит указанному промежутку .

Ответ:     $\boldsymbol{x=3-3\sqrt2}$  .