Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений:
(y - 1)²dx + (1 - x)³dy = 0
Решить задачу Коши:
sin xdx + dy/√y = 0 ; y(0) = 1
Найти общее решение линейного дифференциального уравнения:
y' + 2xy = xe ^-x²
Прошу с решением,дабы понять принцип,как это решать

Answer 1

$1); ; ; (y-1)^2dx+(1-x)^3dy=0\\(y-1)^2dx=-(1-x)^3dy; ; ; Rightarrow ; ; ; int frac{dx}{-(1-x)^3} =int frac{dy}{(y-1)^2} \\-int (1-x)^{-3}dx=int (y-1)^{-2}dy\\+frac{(1-x)^{-2}}{-2}=frac{(y-1)^{-1}}{-1}+C\\-frac{1}{2(1-x)^2}=-frac{1}{y-1}+C\\2); ; sinxcdot dx+frac{dy}{sqrt{y}}=0; ,; ; ; y(0)=1\\int sinxcdot dx=-int frac{dy}{sqrt{y}}\\-cosx=-2sqrt{y}+C; ; to ; ; sqrt{y}=frac{cosx+C}{2}; ,\\y=frac{1}{4}(cosx+C)^2; ; -; ; obshee; reshenie$

$y(0)=1; ,; ; sqrt1=frac{cos0+C}{2}; ,; ; 2=1+C; ,; ; C=1\\y=frac{1}{4}(cosx+1); ; -; ; chastnoe; reshenie\\3); ; y'+2xy=xe^{-x^2}\\y=uv; ,; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'+2xuv=xe^{-x^2}\\u'v+u(underbrace {v'+2xv}_{0})=xe^{-x^2}\\1); ; frac{dv}{dx}+2xv=0; ,; ; frac{dv}{v}=-2 x, dx\\int frac{dv}{v}=-2int x, dx; ; ; to ; ; lnv=-x^2; ; to ; ; v=e^{-x^2}$

$2); ; u'cdot e^{-x^2}=xe^{-x^2}\\frac{du}{dx}=x; ; to ; ; int du=int x, dx; ; to ; ; u=frac{x^2}{2}+C$

$3); ; y=uv=e^{-x^2}cdot (frac{x^2}{2}+C)$