Question

Найти общее решение дифференциального уравнения

Answer 1

$(y')^2+2yy''=0; ; ,\\F(y,y',y'')=0; ; to ; ; y'=p(y); ; ,; ; p''=frac{dp}{dy} cdot frac{dy}{dx}=frac{dp}{dy}cdot p\\p^2+2ycdot frac{dp}{dy} cdot p=0\\frac{dp}{dy}=-frac{p^2}{2ycdot p}=-frac{p}{2y}\\int frac{dp}{p}=-int frac{dy}{2y}\\ln|p|=-frac{1}{2}cdot ln|y|+lnC_1; ; to ; ; p=frac{C_1}{sqrt{y}}\\frac{dy}{dx}=frac{C_1}{sqrt{y}}\\int sqrt{y}, dy=C_1cdot int dx\\frac{y^{3/2}}{3/2}=C_1cdot x+C_2\\frac{2}{3}cdot sqrt{y^3} =C_1cdot x+C_2$

$sqrt{y^3}=frac{3}{2}cdot (C_1cdot x+C_2)\\y=Big (frac{3}{2}cdot (C_1cdot x+C_2)Big )^{2/3}\\y=sqrt[3]{frac{9}{4}cdot (C_1cdot x+C_2)^2}$