Question

Найдите наибольшее значение функции
$y= \frac{x }{ {x}^{2} + {p}^{2} }$
на промежутке
$(0 . + \infty )$




​

Answer 1

$y=\dfrac{x}{x^2+p^2}$ при $x\in(0;\ +\infty)$

Заметим, что для рассмотрения функции можно считать, что $p>0$, так как в функцию $p$ входит в четной степени

Найдем производную:

$y'=\dfrac{x'\cdot(x^2+p^2)-x\cdot(x^2+p^2)'}{(x^2+p^2)^2}=\dfrac{1\cdot(x^2+p^2)-x\cdot2x}{(x^2+p^2)^2}=$

$=\dfrac{x^2+p^2-2x^2}{(x^2+p^2)^2}=\dfrac{p^2-x^2}{(x^2+p^2)^2}$

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$p^2-x^2=0$

$x^2=p^2$

$x=\pm p$

На промежутке $x\in(0;\ +\infty)$ с учетом уточнения $p>0$ такая точка одна:

$x=p$

Найдем точки, в которых производная не существует:

$(x^2+p^2)^2=0$

$x^2+p^2=0$

Равенство выполняется при $x=p=0$, однако эта точка не попадает в заданный промежуток $x\in(0;\ +\infty)$

Таким образом, нужно проверить наличие экстремума в точке $x=p$.

Найдем знаки производной в точках $x=\dfrac{p}{2}$ и $x=2p$:

$y'\left(\dfrac{p}{2}\right) =\dfrac{p^2-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}{\left(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2+p^2\right)^2}=\dfrac{p^2-\dfrac{p^2}{4}}{\left(\dfrac{p^2}{4}+p^2\right)^2}=\dfrac{16\left(p^2-\dfrac{p^2}{4}\right)}{\left(4\left(\dfrac{p^2}{4}+p^2\right)\right)^2}=$

$=\dfrac{16p^2-4p^2}{\left(p^2+4p^2\right)^2}=\dfrac{12p^2}{\left(5p^2\right)^2}=\dfrac{12p^2}{25p^4}=\dfrac{12}{25p^2}>0$

$y'\left(2p\right) =\dfrac{p^2-\left(2p\right)^2}{\left(\left(2p\right)^2+p^2\right)^2}=\dfrac{p^2-4p^2}{\left(4p^2+p^2\right)^2}=\dfrac{-3p^2}{\left(5p^2\right)^2}=-\dfrac{3p^2}{25p^4}=-\dfrac{3}{25p^2}<0$

Значит:

при $x\in(0;\ p)\ \rightarrow\ y'>0$

при $x\in(p;\ +\infty)\ \rightarrow\ y'<0$

Таким образом, при переходе через точку $x=p$ производная меняет знак с "плюса" на "минус". Значит, $x=p$ - точка максимума. Найдем значение  максимума:

$y_{\max}=y(p)=\dfrac{p}{p^2+p^2}=\dfrac{p}{2p^2}=\dfrac{1}{2p}$

Поскольку заданный промежуток $x\in(0;\ +\infty)$ не отрезок, то проверим, что предел при стремлении $x$ к границам промежутка не больше полученного максимума:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{x^2+p^2}= \dfrac{0}{0^2+p^2}= \dfrac{0}{p^2}=0$

$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x^2+p^2}= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x}{x^2} }{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{p^2}{x^2}}= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} }{1+\dfrac{p^2}{x^2}}=\dfrac{0 }{1+0}= 0$

Оба предела равны 0. Значит, $y=\dfrac{1}{2p}$ - наибольшее значение функции на заданном промежутке.

Ответ: $\dfrac{1}{2p}$