Question

Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления у=х^3+6х^2+9х+2

Answer 1

$y=x^{3}+6x^{2}+9x+2$
1. ООФ: D(y)=(-∞;+∞)
2. Четность / нечетность функции:
$y(-x)=(-x)^{3}+6(-x)^{2}-9x+2=-x^{3}+x^{2}-9x+2$ - не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осями координат:
С осью Оу (х=0): y(0)=2. Точка (0; 2)
С осью Ох (у=0): $x^{3}+6x^{2}+9x+2=0$
$x_{1}=-2$ - ноль функции
$x^{3}+6x^{2}+9x+2=(x+2)(x^{2}+5x-1)=0$
$x_{2}= frac{-5- sqrt{29}}{2}$ - ноль функции
$x_{3}= frac{-5+ sqrt{29}}{2}$ - ноль функции
Точки: (-2;0), ((-5-√29)/2;0), ((-5+√29)/2;0)

4. Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы:
$y'(x)=3x^{2}+12x+9=0, D=36$
$x=-3$ - точка максимума
$x=-1$ - точка минимума

Производная положительная при x∈(-∞;-3)U(-1;+∞) - функция возрастает
Производная отрицательная при x∈(-3;-1) - функция убывает

5. Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба:
$y''(x)=6x+12=0$
$x=-2$
Производная положительная при x∈(-2;+∞) - функция выпукла вниз
Производная отрицательная при x∈(-∞;-2) - функция выпукла вверх