Question

1+sin(x)^3+cos(x)^3=3/2*sin(2x)

Answer 1

$1+\sin^3x+\cos^3x=\frac{3}{2}\sin 2x\\ \\ 1+\Big(\sin x+\cos x\Big)\Big(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x\Big)=\frac{3}{2}\cdot 2\sin x\cos x\\ \\ 1+\Big(\sin x+\cos x\Big)\Big(1-\sin x\cos x\Big)=3\sin x\cos x$

Пусть $\sin x+\cos x=t$, причем равенство выполнено при условии $|t|\leq \sqrt{2}$, тогда, возводим обе части равенства, имеем $1+2\sin x\cos x=t^2$ отсюда $\sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}$.

$1+t\cdot \Big(1-\dfrac{t^2-1}{2}\Big)=3\cdot \dfrac{t^2-1}{2}~~~~~~~~~~~\Bigg|\cdot 2\\ \\ 2+t\Big(3-t^2\Big)=3\Big(t^2-1\Big)\\ \\ 2+3t-t^3=3t^2-3\\ \\ t^3+3t^2-3t-5=0$

Кубическое уравнение решим методом разложения на множители. Для этого разложим одночлены в сумму нескольких.

$t^3+t^2+2t^2+2t-5t-5=0$

$t^2(t+1)+2t(t+1)-5(t+1)=0\\ (t+1)(t^2+2t-5)=0\\ t_1=-1\\ \\ t^2+2t-5=0\\ (t+1)^2-6=0\\ \\ t_{2,3}=-1\pm\sqrt{6}$

Корни $t=-1\pm\sqrt{6}$ не удовлетворяют нашему условию.

Обратная замена.

$\sin x+\cos x=-1~~~~~~~~\Bigg|\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin x\cdot \cos \frac{\pi}{4}+\cos x\cdot \sin\frac{\pi}{4}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin \Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ x+\dfrac{\pi}{4}=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$