Математика, вопрос задал cashman2016 , 7 лет назад

1) Найти общий член соответствующего степенного ряда

∞
∑ Un (x).
n=1

Найти интервал сходимости этого ряда и исследовать его поведение ряда на концах интервала сходимости. Найти значение суммы ряда в точке x₀ точностью до 0.001, выписав соответствующее число слагаемых и сославшись на теорему Лейбница.

$frac{x-2}{3} +frac{3(x-2)^2}{3^2} +frac{5(x-2)^3}{3^3}+....... ,$ x₀ = 1.5

2) Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

$intlimits^1_0 {x} , dx$

x=e^((-2x)^6))

Ответы на вопрос

Ответил alkorb

$frac{x-2}{3} +frac{3(x-2)^2}{3^2} +frac{5(x-2)^3}{3^3} +...=sum_{n=1}^{infty}frac{(2n-1)(x-2)^n}{3^n} \ \ a_n=frac{2n-1}{3^n} \ \ a_{n+1}=frac{2(n+1)-1}{3^{n+1}} =frac{2n+1}{3*3^n} \ \ R= lim_{n to infty} frac{a_n}{a_{n+1}} = lim_{n to infty} frac{(2n-1)*3*3^n}{(2n+1)*3^n} =3\ \ |x-2|<3 \ \ -3<x-2<3 \-1<x<5$

$1) x=-1 \ \ sum_{n=1}^{infty}frac{(2n-1)*(-3)^n}{3^n} =sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^n(2n-1)*3^n}{3^n} =sum_{n=1}^{infty}(-1)^n(2n-1)$

Ряд из модулей:

$sum_{n=1}^{infty}(2n-1)$

Необходимый признак сравнения:

$lim_{n to infty} (2n-1)=infty neq 0$ - ряд расходится (в том числе и по признаку Лейбница)

$2) x=5 \ \ sum_{n=1}^{infty}=frac{(2n-1)*3^n}{3^n} =sum_{n=1}^{infty}(2n-1)$ - расходится по необходимому признаку

интервал сходимости: х∈(-1;5)

Сумма ряда с точностью 0,0001:

$x=1.5 \ 1) n=1 \ |frac{1.5-2}{3}| =|-0.1666...|>0.001\ \ 2) n=2 \ |frac{3(1.5-2)^2}{3^2}| =|0.0833...|>0.001\ \ 3) n=3\ \ |frac{5(1.5-2)^3}{3^3} |=|-0.02314...|>0.001\ \ 4) n=4 \ \ |frac{7(1.5-2)^4}{3^4} |=|0.0054..|>0.001 \ \ 5) n=5 \ \ |frac{9(1.5-2)^5}{3^5} |=|-0.0011..|>0.001\ \ 6) n=6 \ \ |frac{11(1.5-2)^6}{3^6} |=|0.0002..|<0.001$

Значит нужно взять 5 первых членов ряда:

$sum_{n=1}^{infty}frac{(2n-1)(x-2)^n}{3^n}approx frac{(2*1-1)(1,5-2)}{3}+frac{(2*2-1)(1,5-2)^2}{3^2}+frac{(2*3-1)(1,5-2)^3}{3^3}+\ \ frac{(2*4-1)(1.5-2)^4}{3^4}+frac{(2*5-1)(1.5-2)^5}{3^5}approx -0.102$