Question

знайти значення виразу 2^x якщо 2^2-x - 2^x-1 = 1

Answer 1

$ttdisplaystyle 2^{2 - x} - 2^{x - 1} = 1\\\frac{2^2}{2^x}-frac{2^x}{2^1}=1\\\frac{8 - 2^{2x}}{2cdot2^x}-1=0\\\frac{8 - 2^{2x} - 2cdot 2^x}{2cdot2^x} = 0$

Данная дробь равна нулю только в том случае, когда числитель равен нулю (так как знаменатель никогда не может равняться нулю из свойств степеней)

$ttdisplaystyle 8 - 2^{2x} - 2cdot 2^x~~~~~~~~~~2^x = t, ~~~~D(t): t>0\\\8 - t^2 - 2t = 0\\\-t^2 - 2t + 8 = 0\\\t^2 + 2t - 8 = 0~~~~~~~~~~~D = b^2 - 4cdot acdot c = 4 + 4cdot 1cdot 8 = 36 = 6^2\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~t_{1, 2} = frac{-b pm sqrt{D}}{2cdot a}=frac{-2 pm 6}{2}=-4 notin D(t);~2\\\boxed{2^x = 2}$

Answer 2

$2^{2-x}-2^{x-1}=1\\2^{2}*2^{-x}-2^{x}*2^{-1}=1\\frac{4}{2^{x} }-0,5*2^{x}-1=0\\2^{x}=m,m>0\\frac{4}{m}-frac{1}{2}m-1=0\\8-m^{2}-2m=0\\m^{2}+2m-8=0\\D=2^{2}-4*(-8)=4+32=36=6^{2}\\m_{1}=frac{-2+6}{2}=2\\m_{2}=frac{-2-6}{2}=-4\\2^{x}=2$

m₂ = - 4 - не подходит, так как m должно быть > 0 .

Ответ : 2