Question

знайти площу фігури $y=x^{2} +2x+1 , y=x+3$ з малюнком

Answer 1

Відповідь: 4,5 од.



Покрокове пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Ответ:

Площадь фигуры 4,5 ед.².

Пошаговое объяснение:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = x² + 2x + 1;   y = x + 3

• Площадь фигуры найдем по формуле:
• $\boxed {\displaystyle \bf S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx }$
• Формула Ньютона-Лейбница:

• $\boxed {\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx=F(b)-F(a) }$

1. y = x² + 2x + 1   или   у = (х + 1)²

- парабола, ветви вверх.

Этот график получается из графика у = х² путем сдвага на 1 единицу влево.

2. y = x + 3

- линейная функция, график - прямая.

$\displaystyle\arraycolsep=0.7em\begin{array}{ | c | c |c| }\cline{1-3}x& -1 & 1 \\\cline{1-3}y& 2 & 4 \\\cline{1-3}\end{array}$

Строим графики.

Найдем абсциссы точек пересечения.

х² + 2х + 1 = х + 3

х² + х - 2 = 0

По теореме Виета:

х₁ = -2;     х₂ = 1

Получили:

a = -2 (слева); b = 1 (справа); f₁(x) = x² + 2x + 1 (снизу); f₂(x) = x + 3  (сверху)

$\displaystyle S=\int\limits^1_{-2} {(x+3-x^2-2x-1)} \, dx =\int\limits^1_{-2} {(-x^2-x+2)} \, dx =\\\\=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\bigg|^1_{-2} =\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right)-\left(\frac{8}{3}-2-4\right)=\\\\=-\frac{9}{3}-\frac{1}{2}+8=4\frac{1}{2}$

Площадь фигуры 4,5 ед.².