Question

Знайти область допустимих значень

√x^2-9+1/√4+3x-x^2

Answer 1

Область значень це безліч можливих чисел даного прикладу. По-перше необхідно знайти область визначення( безліч всіх можливих  чисел х), тому що від него належить область значень.

1)√(х²-9)≥0  (тому ще неможливо витягувати корінь від від'ємного числа)

х²≥9  

розв'язуємо як звичайне рівняння

х²=9 ⇒ х=±3

ax²≥0  при  a=1>0 ⇒ гілкі параболи йдуть вгору ⇒ інтервал квадратичної функції наступний +;-;+

⇒x ∈(-∞;-3]∪[3;∞)

2)  1/√(4+3x-x²)  ⇒ √(4+3x-x²) >0 (також не можна деліти на 0)

4+3x-x²>0

розв'язуємо як звичайне рівняння

4+3x-x²=0

звичайно можно вирішувати через діскриминант, але я покажу 1 цікаву теорему для окремих випадків

якщо у рівняння типу ax²+bx+c=0 a-b+c=0 ⇒ x₁=-1  x₂=-c/a             4+3x-x²=0  a-b+c=-1-3+4=0 ⇒ x₁=-1 x₂=-c/a=-(4/-1)=4

ax²+bx+c>0  при а=-1<0 ⇒ гілкі параболи йдуть вніз ⇒інтервал квадратичної функції наступний -;+;-

х ∈ (-1;4)

розділивши вираз на две частини, знайшли окрема область визначень .Зараз шукаємо загальну  об'єднуючи окрема

(-1;4)  ∩ ( (-∞;-3]∪[3;∞) ) = [3;4)

⇒ D(y)=[3;4)

достатньо підставити гранічни числа знайденого періоду

√(3²-9) + 1/√(4+3×3-3²)=1/4

√(4²-9) + 1/√(4+3×4-4²) = √5  (звичайно якщо підставить 4 у другу частину виразу, то він не буде мати глузд, але вважаємо підсумок дрібі як 0)

Зараз отримуємо область допустимих значень згідно дужкам області визначення

E(y)=[0.25;√5)

Відповідь:E(y)=[0.25;√5)