Question

Знайти найбільше та найменше значення функції f(x)=x^3-2x|x-2| на проміжку [0;3].

Answer 1

Ответ:

f(x) max  = 21

$\sf f(x) min = - 1 \dfrac{13}{27}$

Объяснение:

Рассмотрим промежуток [ 0 ;  2]
В данном промежутке модуль раскроется с минусом

$f(x) = x^3 - 2x|x-2| = x^3 - 2x \cdot \Big(-(x-2)\Big) = x^3 + 2x^2 -4x$

Найдем производную

$f'(x) = (x^3 + 2x^2 -4x)' = 3x^2 + 4x - 4$

Найдем критические точки

$3x^2 + 4x - 4 = 0 \\\\ D = 16 + 48 = 64 \\\\ x_ 1 = \cfrac{-4 + 8}{6} = \cfrac{2}{3} \\\\ x_2 =\cfrac{-4-8}{6}= -2$

Только первая точка принадлежит промежутку [ 0 ;  2]

Находим значение нашей функции на концах отрезка  [ 0 ; 2] и критической точке

$\displaystyle f(0) = 0^3 -2\cdot 0 |0 - 2| = 0 \\\\ f\bigg(\dfrac{2}{3} \bigg) = \bigg (\dfrac{2}{3}\bigg )^3 - 2\cdot \frac{2}{3}\cdot \bigg|\frac{2}{3}-2 \bigg| = \frac{8}{27}- \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3} = \frac{8-48 }{27 } = -1\frac{13}{27} \\\\\\ f(2) = 8 - 2\cdot 2 \cdot |2-2| = 8$

Рассмотрим промежуток  [2 ; 3] , тогда модуль раскроется с плюсом

$f(x) = x^3 - 2x|x-2| = x^3 - 2x \cdot (x-2) =x^3 - 2x^2 + 4x$

$f'(x)= (x^3 - 2x^2 +4x)' = 3x^2 -4x + 4 \\\\\ 3x^2 - 4x + 4 = 0\\\\ D = 16 - 48 < 0$

⇒  в данном случае функция не имеет критических точек ,  найдем значение функции при  конце отрезка который равен 3

$f(3) = 3^3 - 2\cdot 3 \cdot |3-2| = 27 - 6 = 21$

Тогда :

$f(3) > f(2) > f(0) > f(2/3)$  ⇒

f(x) max  = 21

$f(x) min = - 1 \dfrac{13}{27}$