Question

Знайти множину значень функції y = (1/2) ^ x - 1

Answer 1

Для знаходження множини значень функції \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\), спочатку врахуємо, що база \(\frac{1}{2}\) менше 1, тобто \(0 < \frac{1}{2} < 1\).

З цим врахуванням можна аналізувати значення функції на різних інтервалах \(x\):

1. **Якщо \(x > 0\)**: У цьому випадку \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) завжди буде додатнім числом, бо піднесення до будь-якого додатнього \(x\) менше 1 дає додатне число. Таким чином, \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\) завжди більше -1.

2. **Якщо \(x = 0\)**: В цьому випадку \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1\), і \(y = 1 - 1 = 0\).

3. **Якщо \(x < 0\)**: У цьому випадку \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) буде більше 1, оскільки піднесення до від'ємного \(x\) менше 1 дає більше число (оскільки дріб підноситься до відвертої ступені). Таким чином, \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\) завжди менше -1.

Отже, множина значень функції \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1\) - це всі дійсні числа, крім числа 0, тобто \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).