Question

Знайдіть усі пари простих чисел p і q, що 3p^4 +5q^4+15=13p^2*(q^2)

Answer 1

$3p^4 +5q^4+15=13p^2*q^2\ 0+2q^4+0equiv p^2q^2(mod;3)\ q^2(2q^2-p^2)equiv 0(mod;3)$

Т.к. 3 простое, то либо $q^2equiv 0(mod;3)=>qequiv0(mod;3)$ (1), либо $(2q^2-p^2)equiv 0(mod;3)$ (2).

Число может давать один из трех остатков 0, 1, 2 при делении на 3. Тогда

$aequiv0(mod;3)=>a^2equiv0(mod;3)\ aequiv1(mod;3)=>a^2equiv1(mod;3)\ aequiv2(mod;3)=>a^2equiv2*2(mod;3)equiv1(mod;3)$

Т.е. квадрат натурального числа дает один из двух остатков 0, 1 при делении на 3.

Тогда для (2) единственный вариант $pequiv q equiv 0 (mod ;3)$ . В случае (1) же получили, что $qequiv0(mod;3)$ . А значит в любом случае $qequiv0(mod;3)$ .

Т.к. оно простое, то $q=3$

$p^4 +5*27+5=13p^2*3\ (p^2)^2-39*p^2+140=0\ p^2=dfrac{39pmsqrt{39^2-4*140}}{2}=dfrac{39pmsqrt{1600+1-80-560}}{2}=dfrac{39pmsqrt{961}}{2}=dfrac{39pm31}{2}\ p^2=4;;;;;;;;;;;;p^2=35\ p=pm2;;;;;;;;;;;;p=pmsqrt{35}$

p простое => $p=2$

Ответ: (2;3)

___________________________________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю