Question

Знайдіть суму перших чотирьох членів геометричної прогресії. (6,), як-
що 6, =2, q =3.
А. 40. Б. 68. В. 11. Г. 80.

Answer 1

b[1] = 2, q = 3. S[4] - ?.

З b[1] = 2 та q = 3 можна зрозуміти, що прогресія виглядає так:

2, 2 * 3, 2 * 3 * 3, ..., тобто:

2, 6, 18, ....

Взагалі, оскільки елемента всього 4, можно підрахувати суму просто так:

2 + 2 * 3 + 2 * 3 * 3 + 2 * 3 * 3 * 3 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80.

Але, подібне завдання можна узагальнити якимoсь більш великим числом, ніж 4. В таких випадках можна використовувати спеціальну формулу*: S[n] = b[1] * (1 - q^n) / (1 - q). Спробуємо нею скористатись:

S[4] = 2 * (1 - 3 ^ 4) / (1 - 3) = 2 * (-80) / (-2) = (-1) * (-80) = 80, тобто, виходить та сама відповідь, що і простим способом.

* Якщо незрозуміло, як виводиться ця формула, коротко:

S[n] = b[1] + b[2] + b[3] + ... + b[n - 1] + b[n]

S[n] = b[1] + b[1] * q + b[1] * q^2 + ... + b[1] * q^(n - 2) + b[1] * q^(n - 1)

S[n] = b[1] + q * (b[1] + b[1] * q + ... + b[1] * q^(n - 2))

S[n] = b[1] + q * (S[n] - b[1] * q^(n - 1))

S[n] = b[1] + q * S[n] - b[1] * q^(n - 1) * q

S[n] = b[1] + q * S[n] - b[1] * q^n

S[n] - q * S[n] = b[1] - b[1] * q^n

S[n] * (1 - q) = b[1] * (1 - q^n)

S[n] = b[1] * (1 - q^n) / (1 - q), що нам і було треба.

Одним словом, відповідь: Г) 80.