Question

знайдіть геометричну прогресію, яка містить 6 членів, якщо суматрьох перших її членів дорівнює 168,а сума трьох останніх дорівнює 21

Answer 1

Составляем и решаем систему уравнений по условию:

$left { {{b_4+b_5+b_6=21} atop {b_1+b_2+b_3=168}} right. to left { {{b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5=21} atop {b_1+b_1q+b_1q^2=168}} right. to left { {{b_1q^3(1+q+q^2)=21} atop {b_1(1+q+q^2)=168}} right.$

делим верхнее уравнение на нижнее, получаем:

$cfrac{{b_1q^3(1+q+q^2)}}{b_1(1+q+q^2)}=cfrac{21}{168} to q^3=cfrac{1}{8} to q=cfrac{1}{2}=0.5$

находим первый член:

b₁(1 + q + q²) = 168

b₁(1 + 0,5 + 0,5²) = 168

b₁(1 + 0,5 + 0,25) = 168

b₁*1,75 = 168

b₁ = 168/1,75

b₁ = 96

находим остальные члены:

b₂ = b₁q = 96 * 0.5 = 48

b₃ = b₂q = 48 * 0.5 = 24

b₄ = b₃q = 24 * 0.5 = 12

b₅ = b₄q = 12 * 0.5 = 6

b₆ = b₅q = 6 * 0.5 = 3

Ответ: 96; 48; 24; 12; 6; 3

Проверим:

96 + 48 + 24 = 168 - сумма первых трёх членов

12 + 6 + 3 = 21 - сумма последних трёх.

Answer 2

$b_n=b_1cdot q^{n-1};\ left { {{b_1+b_2+b_3=168}, atop {b_4+b_5+b_6=21};} right. ==> left { {{b_1+b_1cdot q+b_1cdot q^2=168,} atop {b_1cdot q^3+b_1cdot q^4+b_1cdot q^5=21;}} right. ==> left { {{b_1cdotleft(1+q+q^2right)=168,} atop {b_1cdotleft(q^3+q^4+q^5right)=21;}} right.\ left { {{b_1cdotleft(1+q+q^2right)=168,} atop {b_1cdot q^3left(1+q+q^2right)=21;}} right. \ b_1cdotleft(1+q+q^2right)=168 ==> \ b_1cdot q^3left(1+q+q^2right)=21\ q^3cdot168=21$

$q^3=frac{21}{168}=frac{3cdot7}{7cdot24}=frac{3}{24}=frac18;\ q=sqrt[3]{frac18}=frac12;\ b_1(1+q+q^2)=168==>b_1=frac{168}{1+frac12+frac14}=;\ b_1=frac{168}{frac{4+2+1}{4}}=frac{672}{7}=96;\ b_n=b_1cqrt q^{n-1};\[tex] b_1=96;\ b_2=96cdot frac12=48;\ b_3=96cdotfrac14=24;\ b_4=96cdotfrac18=12;\ b_5=96cdotfrac1{16}=6;\ b_6=96cdotfrac1{32}=3;$
перевіримо

$b_1+b_2+b_3=96+48+24=168\ b_4+b_5+b_6=12+6+3=21$

Відповідь:$96, 48, 24, 12, 6, 3.$