Question

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение.

Задача. По кругу стоят 130 детей, среди которых есть хотя бы один мальчик и хотя бы одна девочка. Каждый ребёнок сказал: «Мои соседи — мальчик и девочка». Известно, что неправду сказали все мальчики и ровно одна девочка. Сколько всего могло быть мальчиков?

Решение. Разобьём всех детей на группы подряд идущих девочек и подряд идущих мальчиков (по условию есть и те, и другие).

Предположим, найдётся группа, в которой хотя бы 2 мальчика. Тогда крайний из них сказал
Выбрать
, так как он стоит между мальчиком и девочкой. Противоречие. Значит, все группы мальчиков состоят из 1 ребёнка. Тогда каждый мальчик находится между двумя девочками, и он действительно сказал
Выбрать
.

Рассмотрим, сколько девочек может быть в одной группе.

Если в группе хотя бы 4 девочки, то все девочки, не стоящие с краю, сказали
Выбрать
, так как каждая из них стоит между двумя девочками. Таких девочек хотя бы 2. Противоречие, ведь такая девочка по условию всего 1.
Если в группе 3 девочки, то только средняя из них сказала
Выбрать
, а две крайние —
Выбрать
.
Если в группе 2 девочки, то каждая из них сказала
Выбрать
.
Если в группе 1 девочка, то она сказала
Выбрать
, так как она находится между двумя мальчиками.
Следовательно, группы девочек устроены следующим образом: ровно одна группа из
Выбрать
девочек и несколько групп из
Выбрать
.

Если есть группа из 1 девочки, то временно забудем про неё и одного соседнего с ней мальчика. Тогда оставшиеся 128 детей разобьются на блоки из 2 девочек и 1 мальчика. Но 128 не делится на 3. Противоречие.

Если же есть группа из 3 девочек, то временно забудем одну из девочек этой группы. Тогда оставшиеся 129 детей разобьются на блоки из
Выбрать
. Таких блоков
, поэтому мальчиков в кругу ровно
.

Исходя из рассуждений выше, несложно построить пример, когда такой вариант реализуется (придумайте его самостоятельно).

Вместо "выбрать" напишите "правда" или "неправда"

Answer 1

Ответ: мальчиков в кругу ровно 43.

Пошаговое объяснение:

ЗАДАЧА. По кругу стоят 130 детей, среди которых есть хотя бы один мальчик и хотя бы одна девочка. Каждый ребёнок сказал: «Мои соседи — мальчик и девочка». Известно, что неправду сказали все мальчики и ровно одна девочка. Сколько всего могло быть мальчиков?

РЕШЕНИЕ: Разобьём всех детей на группы подряд идущих девочек и подряд идущих мальчиков (по условию есть и те, и другие).

Предположим, найдётся группа, в которой хотя бы 2 мальчика. Тогда крайний из них сказал правду, так как он стоит между мальчиком и девочкой. Противоречие. Значит, все группы мальчиков состоят из 1 ребёнка. Тогда каждый мальчик находится между двумя девочками, и он действительно сказал неправду.

Рассмотрим, сколько девочек может быть в одной группе.

Если в группе хотя бы 4 девочки, то все девочки, не стоящие с краю, сказали неправду, так как каждая из них стоит между двумя девочками. Таких девочек хотя бы 2. Противоречие, ведь такая девочка по условию всего 1.

Если в группе 3 девочки, то только средняя из них сказала неправду, а две крайние — правду.

Если в группе 2 девочки, то каждая из них сказала правду.

Если в группе 1 девочка, то она сказала неправду, так как она находится между двумя мальчиками.

Следовательно, группы девочек устроены следующим образом: ровно одна группа из трех девочек (или же одна девочка) и несколько групп из двух.

Если есть группа из 1 девочки, то временно забудем про неё и одного соседнего с ней мальчика. Тогда оставшиеся 128 детей разобьются на блоки из 2 девочек и 1 мальчика. Но 128 не делится на 3. Противоречие.

Если же есть группа из 3 девочек, то временно забудем одну из девочек этой группы. Тогда оставшиеся 129 детей разобьются на блоки из 2 девочек и 1 мальчика. Таких блоков будет 129 : 3 = 43, поэтому мальчиков в кругу ровно 43.

То есть по кругу стоят 130 детей в такой последовательности: 1 мальчик, 2 девочки, и случайным образом поставленная между двумя девочками еще 1 девочка.