Question

Задано рівняння площини (а) : 2x - у + 2z -3 =0, прямої (a):x/1=y+2/-1=z-1/2
і точка М(0;2;-1) . Потрібно
знайти:
1) рівняння площини, що проходить через точку М паралельно площині (а),
2) рівняння площини, що проходить через точку М перпендикулярно до прямої (а),
3) рівняння прямої, що проходить через точку М перпендикулярно до площини (а),
4) рівняння прямої, що проходить через точку М паралельно прямій (а),
5) точку перетину прямої (а) і площини (а),
6) відстань від точки М до площини (а).

Answer 1

Відповідь:1) Щоб знайти рівняння площини, що проходить через точку М паралельно площині (а), скористаємося властивістю паралельних площин. Оскільки площини паралельні, то вони мають однаковий нормальний вектор. Нормальний вектор площини (а) має координати (2, -1, 2). Використовуючи цей вектор і координати точки М(0, 2, -1), отримуємо рівняння шуканої площини:

2(x-0) - 1(y-2) + 2(z+1) = 0,

або

2x - y + 2z -3 = 0.

2) Щоб знайти рівняння площини, що проходить через точку М перпендикулярно до прямої (а), скористаємося властивістю перпендикулярних прямих і площин. Оскільки площина перпендикулярна до прямої, вона має нормальний вектор, який є векторним добутком нормального вектора площини (а) і напрямного вектора прямої (а):

n = (2, -1, 2) × (1, -1, 2) = (3, 0, 3).

Використовуючи цей вектор і координати точки М(0, 2, -1), отримуємо рівняння шуканої площини:

3(x-0) + 0(y-2) + 3(z+1) = 0,

або

3x + 3z -9 = 0.

3) Щоб знайти рівняння прямої, що проходить через точку М перпендикулярно до площини (а), скористаємося властивістю перпендикулярних прямих і площин. Оскільки пряма перпендикулярна до площини, вона має напрямний вектор, який є нормальним вектором площини (а). Використовуючи цей вектор і координати точки М(0, 2, -1), отримуємо рівняння шуканої прямої:

2(x-0) - (y-2) + 2(z+1) = 0,

або

2x - y + 2z = 2.

4) Щоб знайти рівняння прямої, що проходить через точку М паралельно прямій (а), скористаємося властивістю паралельних прямих. Оскільки прямі паралельні, вони мають однакові напрямні вектори. Використовуючи напрямний вектор прямої (а) (1, -1, 2) і координати точки М(0, 2, -1), отримуємо рівняння шуканої прямої:

(x-0)/1 = (y-2)/(-1) = (z+1)/2.

5) Щоб знайти точку перетину прямої (а) і площини (а), розв'яжемо систему рівнянь площини (а) і прямої (а). Підставимо рівняння прямої (а) в рівняння площини (а):

2(1/1) - (-1) + 2(1/2) - 3 = 0,

або

2 + 1 + 1 - 3 = 0,

або

1 = 0.

Таким чином, точка перетину прямої (а) і площини (а) не існує.

6) Щоб знайти відстань від точки М до площини (а), скористаємося формулою для обчислення відстані між точкою і площиною:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / sqrt(A² + B² + C²),

де (x₀, y₀, z₀) - координати точки М, A, B, C, D - коефіцієнти рівняння площини (а).

Підставимо значення у формулу:

d = |2(0) - 1(2) + 2(-1) - 3| / sqrt(2² + (-1)² + 2²)

= |-1 - 2 - 3| / sqrt(4 + 1 + 4)

= |-6| / sqrt(9)

= 6 / 3

= 2.

Отже, отримали:

1) Рівняння площини, що проходить через точку М паралельно площині (а) : 2x - y + 2z -3 = 0.

2) Рівняння площини, що проходить через точку М перпендикулярно до прямої (а) : 3x + 3z -9 = 0.

3) Рівняння прямої, що проходить через точку М перпендикулярно до площини (а) : 2x - y + 2z = 2.

4) Рівняння прямої, що проходить через точку М паралельно прямій (а) : (x-0)/1 = (y-2)/(-1) = (z+1)/2.

5) Точка перетину прямої (а) і площини (а) не існує.

6) Відстань від точки М до площини (а): 2.

вдачного навчання)