Question

задания из высшей математики. Помогите вычислить производную.

Answer 1

$1) \ y = \left(3x^{2} - \dfrac{5}{x^{3}} + 1 \right)^{4} = \left(3x^{2} - 5x^{-3} + 1 \right)^{4}$

Воспользуемся следующими правилами и формулами дифференцирования:

$(u^{a})' = au^{a-1} \cdot u', \ a \in R$

$C' = 0$

$(Cu)' =Cu'$

$(u \pm v)' = u'v + uv'$

$y' = 4 \cdot \left(3x^{2} - \dfrac{5}{x^{3}} + 1 \right)^{4 -1 } \cdot \left(3x^{2} - \dfrac{5}{x^{3}} + 1 \right)' = 4\left(3x^{2} - \dfrac{5}{x^{3}} + 1 \right)^{3 }\left(6x + \dfrac{15}{x^{4}}\right)$

$2) \ y = \dfrac{\sqrt{4x^{5} - 2}}{\sin 7x} = \dfrac{(4x^{5} - 2)^{\frac{1}{2} }}{\sin 7x}$

Воспользуемся следующими правилами и формулами дифференцирования:

$(\sin u)' = \cos u \cdot u'$

$\left(\dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} , \ v \neq 0$

$y' = \dfrac{\left((4x^{5} - 2)^{\frac{1}{2} }\right)'\sin 7x - (4x^{5} - 2)^{\frac{1}{2}}(\sin 7x)'}{(\sin 7x)^{2}} =$

$= \dfrac{\dfrac{1}{2}(4x^{5} - 2)^{\frac{1}{2} - 1 } \cdot (4x^{5} - 2)' \cdot \sin 7x - \sqrt{4x^{5} - 2}\cos 7x \cdot (7x)'}{\sin^{2} 7x} =$

$= \dfrac{10x^{4}\sin 7x - 7(4x^{5} - 2)\cos 7x}{\sin^{2} 7x \sqrt{4x^{5} - 2}}$

$3) \ y = 2^{\text{arctg} \, x} \cdot \arcsin 2x$

Воспользуемся следующими правилами и формулами дифференцирования:

$(a^{u})' = a^{u} \ln a \cdot u'$

$(\arcsin u)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \cdot u'$

$(\text{arctg} \, u)' = \dfrac{1}{1 + u^{2}} \cdot u'$

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$

$y' = 2^{\text{arctg} \, x} \ln 2 \cdot (\text{arctg} \, x)' \cdot \arcsin x + 2^{\text{arctg} \, x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - (2x)^{2}}} \cdot (2x)' =$

$= \dfrac{2^{\text{arctg} \, x} \ln 2 \cdot \arcsin x}{1 + x^{2}} + \dfrac{2^{\text{arctg} \, x + 1}}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}$

$4) \ y = \ln (\cos 6x)$

Воспользуемся следующими формулами дифференцирования:

$(\ln u)' = \dfrac{1}{u} \cdot u'$

$(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$

$y' = \dfrac{1}{\cos 6x} \cdot (\cos 6x)' = -\dfrac{\sin 6x}{\cos 6x} \cdot (6x)' = - 6 \, \text{tg} \, 6x$

В формулах и правилах $u = u(x), \ v = v(x), \ C$ — постоянная.