Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

а) $\boldsymbol{ \boxed{\Delta = 54 } }$

б) $\boldsymbol{ \boxed{\Delta = 27 } }$

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента $a_{ij}$ определителя порядка $n$ называется определитель порядка $(n - 1)$, полученного из данного вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца и обозначается в виде $M_{ij}$.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ называют число:

$A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Будем рассматривать элементы матрицы в общем виде в записи:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

При сложение элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца) умноженными на некоторое число определитель матрицы не меняется.

Определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

$r_{n}$ - строка с номером n

$c_{n}$ - столбец с номером n

Объяснение:

19.

а)

$\Delta = \begin{vmatrix} 2& 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 2 \\1 & 2 & 3 & -4 \\ 1 & 1 & 5 & 1\end{vmatrix}c_{2} - c_{4} =\begin{vmatrix} 2& 1 - 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 - 2 & 1 & 2 \\1 & 2 -(-4) & 3 & -4 \\ 1 & 1 - 1 & 5 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2& 0 & 5 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\1 & 6 & 3 & -4 \\ 1 & 0 & 5 & 1\end{vmatrix}=$

Вычислим определитель по 2 столбцу согласно теореме Лапласа:

$=a_{12} \cdot A_{12} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32} +a_{42} \cdot A_{42}= 0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{22} + 6\cdot A_{32} +0 \cdot A_{42}=$

$= 6A_{32} = 6 \cdot (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 2& 5 & 1\\ 3 & 1& 2 \\ 1 &5 & 1\end{vmatrix} r_{1} - r_{3} = -6 \begin{vmatrix} 2 - 1& 5 - 5& 1 - 1\\ 3 & 1& 2 \\ 1 &5 & 1\end{vmatrix} =$

$= -6 \begin{vmatrix} 1& 0& 0\\ 3 & 1& 2 \\ 1 &5 & 1\end{vmatrix} =$

Вычислим определитель по 1 строке согласно теореме Лапласа:

$= a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = a_{11} \cdot A_{11} + 0} \cdot A_{12} +0\cdot A_{13} = a_{11} \cdot A_{11} =$

$= (-6) \cdot1 \cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 1& 2\\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -6(1 \cdot 1 - 5 \cdot 2) = -6(1 - 10) = -6 \cdot (-9) = 54$

б)

$\Delta = \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 8 \\ 1 & -3 & -6 & 9 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 1 & 4 & 6 & 0\end{vmatrix} = r_{4} - r_{2};r_{1} - 2r_{2} =$

$= \begin{vmatrix} 2 - 2 \cdot 1& 1 -2 \cdot (-3) & 1 - 2 \cdot (-6) & 8 - 9 \cdot 2 \\ 1 & -3 & -6 & 9 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 1 - 1 & 4 - (-3) & 6 - (-6) & 0 - 9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0& 7 & 13 & -10 \\ 1 & -3 & -6 & 9 \\ 0 & 2 & 2 & -5 \\ 0 & 7 & 12 & - 9\end{vmatrix} =$

Вычислим определитель по 1 столбцу согласно теореме Лапласа:

$=a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} +a_{41} \cdot A_{41}= 0 \cdot A_{11} + 1 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{31} +0 \cdot A_{41}=$

$= A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 7 & 13& -10\\ 2 & 2& -5 \\ 7 &12 & -9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & 13& 10\\ 2 & 2& 5 \\ 7 &12 & 9\end{vmatrix} r_{1} - r_{3}=$

$= \begin{vmatrix} 7 - 7 & 13 - 12& 10 - 9\\ 2 & 2& 5 \\ 7 &12 & 9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1& 1\\ 2 & 2& 5 \\ 7 &12 & 9\end{vmatrix}c_{2} - c_{1} =$

$= \begin{vmatrix} 0 & 1 - 1& 1\\ 2 & 2 - 5& 5 \\ 7 &12-9 & 9\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0& 1\\ 2 & -3& 5 \\ 7 &3 & 9\end{vmatrix} =$

Вычислим определитель по 1 строке согласно теореме Лапласа:

$= a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} =0\cdot A_{11} + 0} \cdot A_{12} +1\cdot A_{13} =A_{13} =$

$= (-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix} 2& -3\\ 7 & 3 \end{vmatrix} = 1(2\cdot 3 - 7 \cdot (-3)) = 6 + 21 =27$