Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Двойной интеграл:

$\boxed{\boldsymbol { \displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{1 + y^{2}} \, dxdy = \frac{2\pi}{3} } }$

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области $G$ будет в виде:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }$

При этом функции $\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)$ - функции ограничивающие область $G$ снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

------------------------------------------------------------------------------------------------

Геометрический смысл двойного интеграла:

После вычисления двойного интеграла получается число. Посмотрим, что это число означает. Представим, что у нас есть какая-то функция $f(x,y)$, которая "живет" в трехмерном пространстве $XYZ$. И построим в двухмерном пространстве $XY$ область $G$ (над областью лежит график $f(x,y)$. И таким образом проекция графика $f(x,y)$ на плоскость $XY$ есть плоскость $G$. А трехмерная фигура которая ограниченна областью $G$ частью графика $f(x,y)$ - проекция, которого $G$ и прямыми, по которым идет проектирование называется цилиндрическим телом (рис(3) вместо области $G$ для конкретной задачи указана область $D$) и как раз объем $V$ данного тела и показывает двойной интеграл, то есть:

$\boxed{ \boldsymbol{V = \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy }}$

Объяснение:

Смотрите рис(2)

Область $D:$

$0 \leq x \leq 2$

$0 \leq y \leq 1$

$\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{1 + y^{2}} \, dxdy = \int\limits^{2}_{0} \, dx \int\limits^{1}_{0} \frac{x^{2}}{1 + y^{2}} \, dy = \int\limits^{2}_{0} x^{2} \, dx \bigg ( \int\limits^{1}_{0} \frac{1}{1 + y^{2}} \, dy \bigg ) =$

$\rm \displaystyle = \int\limits^{2}_{0} x^{2} \, dx \bigg ( arctg \ x \bigg |_0^1 \bigg ) = \bigg (arctg \ 1 - arctg \ 0 \bigg) \int\limits^{2}_{0} x^{2} \, dx = \frac{\pi}{4} \int\limits^{2}_{0} x^{2} \, dx =$

$\displaystyle = \frac{\pi}{4} \bigg ( \frac{x^{3}}{3} \bigg |_0^2 \bigg) = \frac{\pi}{12} \bigg (2^{3} - 0^{3} \bigg ) = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}$.