Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

Примечание:

$\sqrt{2} \approx 1,4$

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном $n$ необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при $n = 1$

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для $n = k$ и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для $n = k + 1$

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных  методом математической индукции.

22.20

Воспользуемся методом математической индукции:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n} } > 2\sqrt{ n + 1} - 2; n \in \mathbb N$

База индукции:

$n = 1;$

а) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } = \frac{1}{1} = 1$

б) $\displaystyle 2\sqrt{ 1 + 1} - 2 = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} -1) \approx 2(1,4 - 1) = 2\cdot 0,4 = 0,8$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } \lor 2\sqrt{1 + 1} - 2$

$1 \lor 0,8$

$1 > 0,8 \Longrightarrow \boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } > 2\sqrt{1 + 1} - 2}$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } > 2\sqrt{k + 1} - 2}$ - пусть верно

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } + 2 > 2\sqrt{k + 1}$

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{k + 1} } > 2\sqrt{k + 1 + 1} - 2$

$\displaystyle \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } + 2}_{ > 2\sqrt{k + 1}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} } - 2\sqrt{k + 2} > 0$

$\displaystyle 2\sqrt{k + 1} +\frac{1}{\sqrt{k + 1} } - 2\sqrt{k + 2} > 0 \bigg | \cdot \sqrt{k + 1}$

$2(k + 1) + 1 - 2\sqrt{(k + 1)(k + 2)} > 0$

$2k + 2 + 1 > 2\sqrt{(k + 1)(k + 2)}$

$(2k + 3)^{2} > (2\sqrt{(k + 1)(k + 2)})^{2}$

$4k^{2} + 12k + 9 > 4(k + 1)(k + 2)$

$4k^{2} + 12k + 9 > 4(k^{2} + 2k + k + 2)$

$4k^{2} + 12k + 9 > 4(k^{2} + 3k + 2)$

$4k^{2} + 12k + 9 > 4k^{2} + 12k + 8$

$9 > 8$

Утверждение для $n = k + 1$ верно, тогда методом математической индукции доказано, что $\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n} } > 2\sqrt{ n + 1} - 2}$ при  $n \in \mathbb N$.

22.21

Воспользуемся методом математической индукции:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n} } < 2\sqrt{n} ; n \in \mathbb N$

База индукции:

$n = 1;$

а) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } = \frac{1}{1} = 1$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } < 2\sqrt{1}$

$1 \lor 2\sqrt{1}$

$1 \lor 2 \cdot 1$

$1 < 2 \Longrightarrow \boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } < 2\sqrt{1}}$ - верно

Индуктивный переход:

$n = k;$

$\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } < 2\sqrt{k}}$ - пусть верно

Необходимо доказать:

$n = k + 1;$

$\displaystyle \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} }}_{2\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} } < 2\sqrt{k + 1}$

$\displaystyle 2\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} } < 2\sqrt{k + 1} \bigg | \cdot \sqrt{k + 1}$

$2\sqrt{k(k + 1)} + 1 < 2(k + 1)$

$2\sqrt{k(k + 1)} + 1 < 2k + 2$

$(2\sqrt{k(k + 1)})^{2} < (2k + 1)^{2}$

$4k(k + 1) < 4k^{2} + 4k + 1$

$4k^{2} + 4k < 4k^{2} + 4k + 1$

$0 < 1$

Утверждение для $n = k + 1$ верно, тогда методом математической индукции доказано, что $\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n} } < 2\sqrt{n}}$ при  $n \in \mathbb N$.