Question

Задание 1. Упростите выражения: а) cos(α - β) - cos(α + β) (13 баллов); б) 020.jpg (10 баллов).
Задание 2. Решите уравнения: а) 300.jpg (15 баллов); б) 3 cos2x + 7 sin x – 5 = 0 (17 баллов).
Задание 3. Решите неравенства: а) 87.jpg (16 баллов); б) 234.jpg (16 баллов). Задание 4. (13 баллов) Докажите тождество: f34.jpg

Answer 1

1а

$\cos(\alpha - \beta ) - \cos(\alpha + \beta )=$

$=(\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta )-(\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta )=$

$=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta -\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta=2\sin\alpha \sin\beta$

2б

$3 \cos2x + 7 \sin x- 5 = 0$

$3 (1-2\sin^2x) + 7 \sin x- 5 = 0$

$3 -6\sin^2x + 7 \sin x- 5 = 0$

$-6\sin^2x + 7 \sin x- 2 = 0$

$6\sin^2x - 7 \sin x+ 2 = 0$

$D=(-7)^2-4\cdot6\cdot2=1$

$\sin x_1=\dfrac{7+\sqrt{1} }{2\cdot6} =\dfrac{2}{3} \Rightarrow\boxed{ x_1=(-1)^k\arcsin\dfrac{2}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}}$

$\sin x_2=\dfrac{7-\sqrt{1} }{2\cdot6} =\dfrac{1}{2} \Rightarrow\boxed{ x_2=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}}$