Question

Задача решить неравенство

Answer 1

sqrt(x^2 + x + 1) + 2x <= |3*x + 1|

ОДЗ:
x^2 + x + 1 >= 0
выполняется всегда

Рассмотрим 2 ситуации.

1. 3*x + 1 >= 0

x >= -1/3

sqrt(x^2 + x + 1) + 2x <= 3*x + 1
sqrt(x^2 + x + 1)  <= x + 1

При приведенном выше условии по х правая часть x + 1 будет больше нуля. Левая же обязана быть больше нуля по ОДЗ. Т.о., возводя в квадрат обе части, сохраняем знак.
 
x^2 + x + 1 <= x^2 + 2x + 1
x <= 2*x

x >= 0

2. 3*x + 1 < 0

x < - 1/3

sqrt(x^2 + x + 1) + 2x <= -3*x - 1
 sqrt(x^2 + x + 1)  <= -5*x - 1

При приведенном выше условии по х правая часть -5*x - 1 будет опять же больше нуля. Далее подходят те же рассуждения, что и выше. Знак сохраняем.

x^2 + x + 1 <= 25*х^2 + 10*х + 1
24*x^2 + 9*x >= 0
x*(8*x + 3) >= 0

x = 0, x = -3/8

   +                -              +
_____ -3/8 _____ 0 ________

x <= -3/8, x >= 0

x < - 1/3


x <= -3/8

Ответ: x <= -3/8, x >= 0