Question

Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Answer 1

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле $frac{sqrt3}2a$. То есть, сторона каждого последующего треугольника - это сторона предыдущего, умноженная на постоянный множитель $frac{sqrt3}2$. То есть сторона n-го треугольника будет равна $a<var>left(frac{sqrt3}2right)^{n-1}</var>$. Периметр же n-го треугольника равен $left.3acdotleft(frac{sqrt3}2right)^{n-1}right.$.

Имеем геометрическую прогрессию относительно периметров: первый её член равен 8*3=24, знаменатель прогрессии - $left(frac{sqrt3}2right)^{n-1}$.

Периметр шестого треугольника:

$\b_6=b_1cdot q^{n-1}=24cdotleft(frac{sqrt3}2right)^6=24cdotfrac{81}{64}=frac{3cdot81}{8}=frac{243}8$ см.