ЗАДАЧА ДЛЯ 5-7 КЛАССОВ В ДВЕ СТРОЧКИ! 98 БАЛЛОВ!
Решившему заранее огромное спасибо!
При каких n правильный треугольник нельзя и можно разрезать на n меньших правильных треугольников?
Примечание. Ответы типа "Ну, на 1 и 4 можно. И на 16 тоже..." или "Ну, можно на 4ⁿ..." категорически НЕ подходят!!! Нужно с полным обоснованием и доказательством того, что при таких-то n это можно сделать, а при таких-то - нельзя!
Ответы на вопрос
Ответ:
n = 4,6,7,8,9 …. .Число 5 выпадает из последовательности. На 5 правильных треугольников поделить правильный треугольник нельзя.
Пошаговое объяснение:
Возьмем правильный треугольник АВС, основание треугольника АС, вершина В. Правильный треугольник должен иметь все углы по 60 градусов. Т.е. при разрезании треугольника углы делить нельзя. Значит, надо делить стороны.
Будем его делить. Для этого надо провести лини разреза. Линии проводятся через точки, лежащие на сторонах треугольника. Если провести одну линию разреза через середину сторон АВ и ВС, то получится правильный треугольник вверху и трапеция внизу. Трапецию внизу можно поделить на три правильных треугольника. Для этого надо провести линии через середины сторон АВ и АС и ВС и АС. Получится из трапеции три треугольника. Таким образом, правильный треугольник можно поделить на четыре правильных треугольника и это будет минимальное число n.
Теперь поделим сторону АВ на к частей: АА1, А1А2, А2А3 …. Ак-1В. Через точку А1 проведем прямую параллельно стороне АС - прямую А1С1. Таким образом, мы от треугольника АВС отрезали трапецию АА1С1С. Получили один правильный треугольник А1ВС1 и одну трапецию. Из соображений подобия можно показать, что получившуюся трапецию можно разрезать на 2к-1 частей. Учитывая, еще один треугольник при вершине В всего треугольников получится 2к, к = 2,3,4 … , т.е. все четные числа, начиная с четырех. Таким образом, мы показали как можно разделить правильный треугольник на заданное четное число частей.
Теперь, проделаем ту же процедуру, что и раньше, получим трапецию и треугольник при вершине. Трапецию можно, как было показано выше, поделить на 2к-1 частей. Так же мы показали ранее, что треугольник при вершине можно поделить на 4 части. Тогда, если мы поделим трапецию на 2к-1 частей, а треугольник при вершине на 4 части, то получим 2к-1+4=2к+3 части, к=2,3,4,5… , т.е. все нечетные числа начиная с семи (при к=2).
Таким образом, мы показали как поделить треугольник на n частей, где
n = {(2к, к=2,3,4…
2к+3,к=2,3,4)}
или n = 4,6,7,8,9 …. . Число 5 выпадает из последовательности. На 5 правильных треугольников поделить правильный треугольник нельзя.