Question

z = arctg (x+y)/(y^2-1) найти полный дифференциациал

распишите пожалуйста подробное решение, чтобы можно было потом разобраться)) заранее спасибо)​

Answer 1

Ответ:

$z=z(x;y)\ \ ,\ \ \ dz=z'_{x}\, dx+z'_{y}\, dy\\\\\\z=arctg\dfrac{x+y}{y^2-1}\\\\\\z'_{x}=\dfrac{1}{1+(\frac{x+y}{y^2-1})^2}\cdot \dfrac{1\cdot (y^2-1)-(x+y)\cdot 0}{(y^2-1)^2}=\dfrac{(y^2-1)^2}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}\cdot \dfrac{y^2-1}{(y^2-1)^2}=\\\\\\=\dfrac{y^2-1}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}$

$z'_{y}=\dfrac{1}{1+(\frac{x+y}{y^2-1})^2}\cdot \dfrac{1\cdot (y^2-1)-(x+y)\cdot 2y}{(y^2-1)^2}=\\\\\\=\dfrac{(y^2-1)^2}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}\cdot \dfrac{y^2-1-2xy-2y^2}{(y^2-1)^2}=-\dfrac{y^2+2xy+1}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}$

$dz=\dfrac{y^2-1}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}\, dx-\dfrac{y^2+2xy+1}{(y^2-1)^2+(x+y)^2}\, dy$