Question

является ли система векторов зависимой?  а1=(1;1-1;0)а2=(2;1;0;1) а3=(3;1;0;1) а4=(1;0;0;0)

Answer 1

Да, является. Нужно составить определитель 4X4, где вектора будут, скажем, пусть строками. Этот определитель будет равен 0.

$left[begin{array}{cccc}1&1&-1&0\2&1&0&1\3&1&0&1\1&0&0&0end{array}right]$

Раскладываем по 1-му элементу в четвертой строке. Заметим, что получим определитель с отрицательным знаком. Вычеркиваем 4-ю строку и 1-й столбец.

$-left[begin{array}{ccc}1&-1&0\1&0&1\1&0&1end{array}right]$

Заметим, что 2-е и з-и строки абсолютно совпадают.
А это значит по свойству определителей, что строки являются линейно зависимыми. Значит определитель равен нулю. Из этого вытекает. что четыре исходных вектора являются линейно зависимыми.