я прямоугольная параллелепипеда ABCD a1b1c1d1 у которого AB = 2 AD = 2 aa1 = 1 найдите косинус угла между плоскостями abc1 и acd1
Ответы на вопрос
Ответ:
Для решения этой задачи нам нужно найти нормали к плоскостям abc1 и acd1, а затем использовать их для вычисления косинуса угла между ними с помощью формулы скалярного произведения нормалей.
Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух её направляющих векторов. Для плоскости abc1 направляющими векторами будут векторы AB и AC1:
AB = B - A = (b1 - a1) - (a - a1) = b1 - a
AC1 = C1 - A = (c1 - a1) - (a - a1) = c1 - a
Вычислим их векторное произведение:
n1 = AB x AC1 = (b1 - a) x (c1 - a)
= (b1x - ax) * (c1y - ay) * e1 + (b1y - ay) * (c1z - az) * e2 + (b1z - az) * (c1x - ax) * e3
= (2-1) * (1-0) * e1 + (b1y - 0) * (-1-0) * e2 + (b1z - 0) * (0-1) * e3
= 1 * b1y * e2 - 1 * b1z * e3
Таким же образом, для плоскости acd1 направляющими векторами будут векторы AC1 и AD1:
AD1 = D1 - A = (d1 - a1) - (a - a1) = d1 - a
n2 = AC1 x AD1 = (c1 - a) x (d1 - a)
= (c1y - ay) * (d1z - az) * e1 + (c1z - az) * (d1x - ax) * e2 + (c1x - ax) * (d1y - ay) * e3
= (0-1) * (2-1) * e1 + (0-1) * (0-2) * e2 + (1-0) * (0-1) * e3
= 1 * e1 + 2 * e2 - 1 * e3
Теперь, чтобы найти косинус угла между плоскостями abc1 и acd1, мы можем использовать формулу скалярного произведения нормалей:
cos(угол) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|)
где * обозначает скалярное произведение векторов, а | | обозначает модуль вектора.
Вычислим числитель и знаменатель формулы:
n1 * n2 = (1 * b1y * e2 - 1 * b1z * e3) * (1 * e1 + 2 * e2 - 1