Question

y=x^3 y=4x Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

Answer 1

Найдем, где первая функция лежит выше второй, а где ниже:
$x^3geq 4x\x^3-4xgeq0\x(x^2-4)geq0\x(x-2)(x+2)geq0\xin[-2;0]cup[2;+infty)$
Соответственно разбиваем на 4 участка:
1) $xin(-infty;-2)$
Первая функция лежит всюду ниже второй. Фигура не ограничена. Не учитываем.
2) $xin[-2;0]$
Ограниченная фигура - первая функция лежит не ниже второй. Поэтому площадь будет:
$intlimits^{0}_{-2} {x^3-4x} , dx =({x^4over4}-2x^2)|^{^0}_{_{-2}}=8-{16over4}=4$
3) $xin[0;2]$
Ограниченная фигура - первая функция лежит не выше второй. Поэтому площадь будет:
$intlimits^{2}_{0} {4x-x^3} , dx =(2x^2-{x^4over4})|^{^2}_{_{0}}=8-{16over4}=4$
4)$xin(2;+infty)$
Первая функция лежит всюду выше второй. Фигура не ограничена. Не учитываем.
Суммарно:
$4+4=8$