Question

y=(x+1)^2(x-1)^2 исследовать функцию

Answer 1

1. Область определения функции: $D(y)=R$

2. Четность функции
$y(-x)=(-x+1)^2(-x-1)^2=y(x)$
Итак, функция четная.

3. Точки пересечения с осью Оу и Ох
 3.1. С осью Ох(y=0)
$(x+1)^2(x-1)^2=0 \\ x_1=1 \\ x_2=-1$
(-1;0); (1;0) - точки пересечения с осью Ох
 3.2. С осью Оу (х=0)
$y=(0+1)^2(0-1)^2=1$
(0;1) - точки пересечения с осью Оу

4. Критические точки, возрастание и убывание функции
4.1. Производная функции
$y'=4x(x+1)(x-1) \\ y'=0 \\ x_1=0 \\ x_2=-1 \\ x_3=1$

___-__(-1)__+__(0)__-__(1)___+__
Функция убывает на промежутке (-∞;-1) и (0;1), а возрастает на промежутке (-1;0) и (1;+∞). В точке х=-1 и х=1, функция имеет локальный минимум, а в точке х=0 - локальный максимум

5. Точки перегиба
$y''=4(3x^2-1) \\ y''=0 \\ x=\pm \frac{ \sqrt{3} }{3}$


Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет