Question

выпуклость и вогнутость графика функции. точки перегиба помогите!!! (x-1)^2/x^2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Если вторая производная функции отрицательна на отрезке - функция выпукла, если положительна - вогнута.

Найдём вторую производную:

$f(x)=frac{(x-1)^2}{x^2}\f'(x)=frac{2(x-1)x^2-(x-1)^22x}{x^4}=frac{2x^3-2x^2-2x^3+4x^2-2x}{x^4}=frac{2x^2-2x}{x^4}=frac{2x-2}{x^3}\f''(x)=frac{2x^3-(2x-2)3x^2}{x^6}=frac{2x^3-6x^3+6x^2}{x^6}=frac{-4x^3+6x^2}{x^6}=frac{-4x+6}{x^4}$

Очевидно, что знаменатель всегда положительный (степень чётная). Следовательно, функция будет выпуклой при отрицательном числителе, вогнутой - при положительном.

$a)quad -4x+6>0quadquad b)quad -4x+6<0\ -4x+6=0Rightarrow x=frac32\ x=1Rightarrow -4x+6=2>0\ x=2Rightarrow -4x+6=-2<0$

Следовательно, 3/2 - точка перегиба. При x<3/2 график вогнутый, при x>3/2 - выпуклый.