Question

Выпишите уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой а)х₀=1 ; б)х₀=-2 ; в)х₀=0
1) f(x)=cosx
2) f(x)=cosx-sinx

Answer 1

Уравнение нормали:

$y_n=f(x_0)-dfrac{1}{f'(x_0)} (x-x_0)$

1)

$f(x)=cos x\f'(x)=-sin x$

а)

$x_0=1\f(x_0)=f(1)=cos1\f'(x_0)=f'(1)=-sin1$

$y_n=cos1-dfrac{1}{-sin1} (x-1)=cos1+dfrac{x}{sin1} -dfrac{1}{sin1}\\y_n=dfrac{x}{sin1}+cos1-dfrac{1}{sin1}$

б)

$x_0=-2\f(x_0)=f(-2)=cos(-2)=cos2\f'(x_0)=f'(-2)=-sin(-2)=sin2$

$y_n=cos2-dfrac{1}{sin2} (x+2)=cos2-dfrac{x}{sin2} -dfrac{2}{sin2}\\y_n=-dfrac{x}{sin2}+cos2-dfrac{2}{sin2}$

в)

$x_0=0\f(x_0)=f(0)=cos0=1\f'(x_0)=f'(0)=-sin0=0$

Учитывая нулевую производную, нормаль будет представлять собой прямую, параллельную оси у.

$x=0$

2)

$f(x)=cos x-sin x\f'(x)=-sin x-cos x$

а)

$x_0=1\f(x_0)=f(1)=cos 1-sin 1\f'(x_0)=f'(1)=-sin 1-cos 1$

$y_n=cos 1-sin 1-dfrac{1}{-sin 1-cos 1} (x-1)=\\=cos 1-sin 1+dfrac{x}{sin 1+cos 1} -dfrac{1}{sin 1+cos 1}=\\=dfrac{x}{sin 1+cos 1}+cos 1-sin 1 -dfrac{1}{sin 1+cos 1}=\\=dfrac{x}{sin 1+cos 1}-dfrac{1-cos^21+sin^21}{sin 1+cos 1}=dfrac{x}{sin 1+cos 1}-dfrac{sin^21+sin^21}{sin 1+cos 1}\\y_n=dfrac{x}{sin 1+cos 1}-dfrac{2sin^21}{sin 1+cos 1}$

б)

$x_0=-2\f(x_0)=f(-2)=cos (-2)-sin (-2)=cos2+sin2\f'(x_0)=f'(-2)=-sin (-2)-cos (-2)=sin 2-cos 2$

$y_n=cos 2+sin 2-dfrac{1}{sin 2-cos 2} (x+2)=\\=cos 2+sin 2-dfrac{x}{sin 2-cos 2} -dfrac{2}{sin 2-cos 2}=\\=dfrac{x}{cos 2-sin 2}+cos 2+sin 2+dfrac{2}{cos 2-sin 2}=\\=dfrac{x}{cos 2-sin 2}+dfrac{cos^22-sin^22+2}{cos 2-sin 2}\\y_n=dfrac{x}{cos 2-sin 2}+dfrac{cos4+2}{cos 2-sin 2}$

в)

$x_0=0\f(x_0)=f(0)=cos 0-sin0=1-0=1\f'(x_0)=f'(0)=-sin0-cos 0=-0-1=-1$

$y_n=1-dfrac{1}{-1} (x-0)\\y_n=x+1$

Answer 2

СПАСИБО