Question

вычислите плрщадь фигуры ограниченной линиями y=1-2x и y=3-2x-x^2

Answer 1

Прежде всего чертим чертёж. По нему определяем как выглядит фигура, площадь которой необходимо найти, какая функция больше на промежутке пересечения графиков функций и сам промежуток. Всё это необходимо для вычисления площади.
Итак, по рисунку видно, что график функции y=3-2x-x² лежит выше графика функции y=1-2x на промежутке [-√2;√2], значит функция y=3-2x-x², больше не этом промежутке. Точки пересечения графиков можно найти и аналитически, решив уравнение:
3-2x-x²=1-2x
-x²-2x+2x+3-1=0
-x²+2=0
x²=2
x=√2   x=-√2
Площадь фигуры, ограниченной линиями, находится по формуле
$s= intlimits^b_a {(f(x)-g(x))} , dx$
Подставляем значения функций и пределы интегрирования и находим площадь:
$s= intlimits^{ sqrt{2} }_{- sqrt{2} } {(3-2x-x^2-1+2x)} , dx = intlimits^{ sqrt{2} }_{- sqrt{2} } {(2-x^2)} , dx =2x- frac{x^3}{3}|_{- sqrt{2} }^{ sqrt{2} }=$
$=2* sqrt{2}- frac{( sqrt{2} )^3}{3}-(2*(- sqrt{2)}- frac{(- sqrt{2} )^3}{3})= frac{8 sqrt{2} }{3}$≈3,77ед²