Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями :1) y=x^2, 2) y= x+2

Answer 1

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми.

Для решения задачи в первую очередь нужно построить график.

По графику видно, что найти нам нужно площадь области, лежащей над параболой y = x² и под прямой y = x + 2.

Найдём точки пересечения данных кривых. Для этого нужно решить систему из уравнений их функций.

$begin{cases}y = x^2,\y = x + 2;end{cases}\\x^2 = x + 2;\x^2 - x - 2 = 0;\D = [b^2 - 4ac] = (-1)^2 - 4times(-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2;\x_{1,2} = left[dfrac{-bpmsqrt{D}}{2a}right] = dfrac{1pm 3}{2};\x_1 = 2, x_2 = -1.$

Найти площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y = x + 2, а снизу функцией y = x², а так же прямыми x = 2 и x = -1, значит вычислить следующий определённый интеграл.

$intlimits^{2}_{-1}(x + 2 - x^2) dx = intlimits^{2}_{-1}x dx + 2intlimits^{2}_{-1}dx - intlimits^{2}_{-1}x^2 dx = dfrac{1}{2}x^2|^{2}_{-1} + 2x|^{2}_{-1} - dfrac{1}{3}x^3|^{2}_{-1} =\\=dfrac{1}{2}(2^2 - (-1)^2) + 2(2 - (-1)) - dfrac{1}{3}(2^3 - (-1)^3) = dfrac{3}{2} + 6 - dfrac{9}{3} =1,5 + 3 = 4,5.$

Ответ: 4,5.