Question

Вычислите определённый интеграл методом интегрирования по частям

Answer 1

Найдем неопределенный интеграл
$int {x}^{2} {e}^{x} dx = int {x}^{2}d( {e}^{x} ) = \ = {x}^{2} {e}^{x} - int {e}^{x} {d({x}^{2} )} = \ = {x}^{2} {e}^{x} -2 int x{e}^{x} dx = \ = {x}^{2} {e}^{x} - 2 int x : d( {e}^{x} ) = \ = {x}^{2} {e}^{x} -2(x {e}^{x} - int {e}^{x} dx) = \ = {e}^{x} ( {x}^{2} - 2x + 2) + const$

$binom{2}{1} int {x}^{2} {e}^{x} dx = \ = {e}^{x} ( {x}^{2} - 2x + 2) binom{2}{1} = \ = F(x) binom{2}{1} = F(2) - F(1)$
$F(2) = {e}^{2} ( {2}^{2} - 2 cdot 2 + 2) = \ = 2 {e}^{2}$
$F(1) = {e}^{1} ( {1}^{2} - 2 cdot 1 + 2) = \ = {e}$

$binom{2}{1} int {x}^{2} {e}^{x} dx = 2 {e}^{2} - e$