Question

Вычислите интегралы методом замены переменной или подведением под знак дифференциала.

Answer 1

$\displaystyle \int\limits^{\frac{1}{\sqrt[3]{2} } }_0 {\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6} } } \, dx$

Решим подведением под знак дифференциала:

$\displaystyle \int\limits^{\frac{1}{\sqrt[3]{2} } }_0 {\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6} } } \, dx =~~~~\bigg|d(x^3) = (x^3)^{'}dx = (3x^2)dx\bigg| = \frac{1}{3} \int\limits^{\frac{1}{\sqrt[3]{2} } }_0 {\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2} } } \, d(x^3)$

$\displaystyle \frac{1}{3} \int\limits^{\frac{1}{\sqrt[3]{2} } }_0 {\frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2} } } \, d(x^3) = \frac{1}{3} arcsin(x^3)\quad\bigg|^{\frac{1}{\sqrt[3]{2} } }_0 =\ \ \frac{1}{3}(arcsin(\frac{1}{2}) - arcsin(0)) = \frac{1}{3}*\frac{\pi}{6} - \frac{1}{3}*0 = \frac{\pi}{18}$