Question

Вычислите интегралы методом непосредственного интегрирования.
∫((1/4)^1-x*(1/2)^x-2)
∫2dx/36+x^2
Вычислите интегралы методом замены переменной или подведением под знак дифференциала.
∫x(x^2-1)^3 dx
∫tg(x+1)/cos^2(x+1) dx
Вычислите интеграл методом интегрирования по частям.
∫xdx/sin^2x

Answer 1

$1); ; int (frac{1}{4})^{1-x}cdot (frac{1}{2})^{x-2}, dx=int (frac{1}{2})^{2-2x}cdot (frac{1}{2})^{x-2}, dx=int (frac{1}{2})^{-x}, dx=\\=-dfrac{(frac{1}{2})^{-x}}{lnfrac{1}{2}}+C=-dfrac{2^{x}}{-ln2}+C=dfrac{2^{x}}{ln2}+C$

$2); ; int frac{2, dx}{36+x^2}=frac{2}{6}cdot arctgfrac{x}{6}+C=frac{1}{3}cdot arctgfrac{x}{6}+C$

$3); ; int x(x^2-1)^3, dx=int (x^7-3x^4+3x^3-1), dx=frac{x^8}{8}-frac{3x^5}{5}+frac{3x^4}{4} -x+C\\ili; ; ; int x(x^2-1)^3, dx=Big[; u=x^2-1; ,; du=2x, dx; ]=frac{1}{2}int u^3, du=\\=frac{1}{2}cdot frac{u^4}{4}+C=frac{(x^2-1)^4}{8}+C$

$4); ; int frac{tg(x+1)}{cso^2(x+1)}, dx=int tg(x+1)cdot d(tg(x+1))=frac{tg^2(x+1)}{2}+C$

$5); ; int frac{x, dx}{sin^2x}=Big[; u=x; ,; du=dx; ,; dv=frac{dx}{sin^2x}; ,; v=-ctgx; Big]=\\=uv-int v, du=-xcdot ctgx+int ctgx, dx=-xcdot ctgx+ln|sinx|+C\\star ; ; int ctgx, dx=int frac{cosx}{sinx}, dx=int frac{d(sinx)}{cosx}=ln|cosx|+C; ; star$