Question

Вычислить значение производной сложной функции z=z(x; y), где x=x(t), y=y(t) при t=t0; z= Ln(e^x+e^y), x=t^2, y=t^3, t0=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle z = ln(e^x+e^y)\\x= t^2\\y=t^3\\t_0=0$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{\delta z}{\delta x} *\frac{dx}{dt} +\frac{\delta z}{\delta y} *\frac{dy}{dt}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = \frac{e^x}{e^x+e^y}$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} = \frac{e^y}{e^x+e^y}$

$\displaystyle \frac{dx}{dt } = 2t$

$\displaystyle \frac{dy}{dt } = 3t^2$

итого получим производную

$\displaystyle \frac{dz}{dt } = \frac{e^x}{e^x+e^y} 2t+\frac{e^y}{e^x+e^y} 3t^2$

теперь надо посчитать в точке t₀ =0

хотя и сразу видно, что всё выражение в точке t₀ =0 будет =0, но мы по правилу  посчитаем значения х и у в точке t₀, потом подставим эти значения в формулу

x(0) = 0² = 0;   y(0)=0³ = 0

$\displaystyle \frac{dz}{dt }_{(0)} = \frac{e^0}{e^0+e^0} 2*0+\frac{e^0}{e^0+e^0} 3*0^2=\frac{1}{2} *0+\frac{1}{2} *0= 0$