Question

Вычислить сумму ряда
$\sum_{n=0}^\infty\Big(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}-\ln2+\frac{1}{4n}\Big)$

Answer 1

$\sum\limits_{k = 1}^{2 n} \frac{(-1)^{k - 1}}{k} = H_{2 n} - H_n = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{2 n}, \; H_{2 n} - H_n = \sum\limits_{k = 1}^{2 n} \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \\H_{2 (n + 1)} - H_{n + 1} = \frac{1}{2 (n + 1)} + \frac{1}{2 n + 1} + H_{2 n} - H_n - \frac{1}{n + 1} = \left( \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} \right) + \left( H_{2 n} - H_n \right), \; H_n = \sum \limits_{k = 1}^n \frac{1}{k}$$\sum\limits_{n = 1}^N \left( H_{2 n} - H_n - \ln(2) + \frac{1}{4 n} \right) = \left( \sum\limits_{n = 1}^N \sum\limits_{k = 1}^{2 n} \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \right) - N \ln(2) + \frac{1}{4} H_N = \left( \sum\limits_{k = 1}^{2 N} \sum\limits_{\substack{n \in \mathbb{N} \\ \frac{k}{2} \leqslant n \leqslant N}} \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \right) - N \ln(2) + \frac{1}{4} H_N =$$\left( \sum\limits_{k = 1}^{2 N} \left( N + 1 - \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil \right) \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \right) - N \ln(2) + \frac{1}{4} H_N = N \left( \sum_{k = 1}^{2 N} \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \right) + \left( \sum\limits_{k = 1}^{2 N} \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \right) - \left( \sum\limits_{k = 1}^{2 N} \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \right) - N \ln(2) + \frac{1}{4} H_N$

$N \left( \sum\limits_{k = 1}^{2 N} \frac{(-1)^{k - 1}}{k} \right) = N (H_{2 N} - H_N) = N \left( \ln(2 N) + \gamma + \frac{1}{4 N} - \ln(N) - \gamma - \frac{1}{2 N} + \mathop{\mathrm{o}}\limits_{N \to +\infty}\left( \frac{1}{N} \right) \right) = N \ln(2) - \frac{1}{4} + \mathop{\mathrm{o}}\limits_{N \to +\infty}(1)$

$\sum\limits_{k = 1}^{2 N} \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil \frac{(-1)^{k - 1}}{k} = \sum\limits_{j = 1}^N j \left( \frac{1}{2 j - 1} - \frac{1}{2 j} \right) = \sum_{j = 1}^N \frac{1}{2 (2 j - 1)} = \frac{1}{2} \left( \sum\limits_{j = 1}^N \frac{1}{2 j - 1} \right) = \frac{1}{2} \left( H_{2 N} - \frac{1}{2} H_N \right) = \frac{1}{2} H_{2 N} - \frac{1}{4} H_N =$$=\frac{\ln(2 N)}{2} + \frac{\gamma}{4} - \frac{\ln(N)}{4} + \mathop{\mathrm{o}}\limits_{N \to +\infty}(1)= \frac{\ln(2)}{2} + \frac{\ln(N)}{4} + \frac{\gamma}{4} + \mathop{\mathrm{o}}\limits_{N \to +\infty}(1)$

$\sum\limits_{n = 1}^N \left( H_{2 n} - H_n - \ln(2) + \frac{1}{4 n} \right) & = N \ln(2) - \frac{1}{4} + \ln(2) - \frac{\ln(2)}{2} - \frac{\ln(N)}{4} - \frac{\gamma}{4} - N \ln(2) + \frac{1}{4} \left( \ln(N) + \gamma + \mathop{\mathrm{o}}\limits_{N \to +\infty}(1) \right) + \mathop{\mathrm{o}}\limits_{N \to +\infty}(1)= \frac{\ln(2)}{2} - \frac{1}{4} + \mathop{\mathrm{o}}\limits_{N \to +\infty}(1)$