Question

Вычислить с точностью до 0,001
Интеграл от 0 до 1 cosx^2dx

Answer 1

Этот интеграл "не берётся", то есть первообразные от функции cosx² не выражаются через элементарные функции. Тем не менее определенный интеграл на заданном отрезке вполне можно вычислить. Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, почленно проинтегрируем и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$cosalpha =1-frac{x^2}{2!} +frac{x^4}{4!} -frac{x^6}{6!} +...+(-1)^n frac{x^{2n}}{(2n)!}+... \intlimits^1_0 {cosx^2} , dx =intlimits^1_0 {(1-frac{x^4}{2!} +frac{x^8}{4!} -frac{x^{12}}{6!} +...)} , dx=x-frac{x^5}{5*2!} +frac{x^9}{9*4!} -frac{x^{13}}{13*6!} +...|_0^1=\=1-0.1+0.005-0.0001+... approx 1-0.1+0.005=0.905$

Мы отбросили члены ряда начиная с -0.0001, |-0.0001|<0.001, поэтому требуемая точность достигается.