Question

Вычислить приделы с помощью правила Лопиталя

Answer 1

$limlimits_{xtoinfty} xln(dfrac{2}{pi}arctgx)=limlimits_{xtoinfty} dfrac{ln(dfrac{2}{pi}arctgx)}{frac{1}{x}}=limlimits_{xtoinfty} dfrac{frac{1}{(frac{2}{pi}arctgx)}*frac{2}{pi}*frac{1}{1+x^2}}{-frac{1}{x^2}}=\ =-limlimits_{xtoinfty} frac{1}{arctgx}*frac{x^2}{1+x^2}=-dfrac{2}{pi}*1=-dfrac{2}{pi}$

$limlimits_{xto+0}x^{-ln(1-x)}=limlimits_{xto+0}(e^{lnx})^{-ln(1-x)}=limlimits_{xto+0}e^{-ln(1-x)lnx}=(*)\ limlimits_{xto+0}({-ln(1-x)lnx)}=limlimits_{xto+0}dfrac{-ln(1-x)}{frac{1}{lnx}}=limlimits_{xto+0}dfrac{frac{1}{1-x}}{-frac{1}{xln^2x}}=limlimits_{xto+0}dfrac{ln^2x}{1-frac{1}{x}}=limlimits_{xto+0}dfrac{frac{2lnx}{x}}{frac{1}{x^2}}=limlimits_{xto+0}dfrac{2lnx}{frac{1}{x}}=2limlimits_{xto+0}dfrac{frac{1}{x}}{-frac{1}{x^2}}=0\ (*)=e^0=1$