Question

Вычислить предел, без применения правила Лопиталя.
Почему предел равен нулю?
$lim_{x to infty} frac{x}{e^x-1}$

Answer 1

$lim_{x to infty} frac{x}{e^{x}-1 }= lim_{frac{1}{x}to 0} frac{x}{e^{x}-1 }= lim_{frac{1}{x}to 0} (frac{e^{frac{1}{x}}-1}{frac{1}{x}}}*frac{1}{(e^{x}-1)*(e^{frac{1}{x}}-1)} )=$

используя следствия замечательных пределов получим

$= lim_{frac{1}{x}to 0}frac{1}{(e^{x}-1)*(e^{frac{1}{x}}-1)} = lim_{frac{1}{x}to 0} frac{1}{e-e^{x}-e^{frac{1}{x}}+1 } =frac{1}{e-infty} =0$