Question

Вычислить подробно интеграл

Answer 1

Если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций, то справедлива следующая формула для неопределенного интеграла, которая называется интегрированием по частям:

$displaystyle intlimits {u} , dv = uv - intlimits {v} , du$

Вычислим неопределенный интеграл

$displaystyle intlimits {(x + 5)^{2} cos 2x} , dx$

Сделаем соответствующую замену:

Пусть $(x+5)^2 = u$, тогда $du = 2(x+5), dx$, а $cos 2x = dv$, тогда $v = displaystyle intlimits {cos 2x} , dx = dfrac{1}{2} sin 2x$ (константу $C$ опускаем).

Получаем:

$dfrac{1}{2} (x+5)^{2}sin 2x - displaystyle intlimits {dfrac{1}{2}sin 2x cdot 2(x+5)} , dx = dfrac{1}{2} (x+5)^{2}sin 2x - intlimits {(x+5)sin 2x} , dx$

Сделаем еще одну соответствующую замену:

Пусть $x+5 = u$, тогда $du = dx$, а $sin 2x = dv$, тогда $v = displaystyle intlimits {sin 2x} , dx = -dfrac{1}{2} cos 2x$ (константу $C$ опускаем).

Получаем:

$displaystyle dfrac{1}{2} (x+5)^{2}sin 2x - left(-dfrac{1}{2}(x+5)cos 2x - intlimits {-dfrac{1}{2}cos 2x } , dx right)$

Вычисляем:

$displaystyle dfrac{1}{2} (x+5)^{2}sin 2x +dfrac{1}{2}(x+5)cos 2x - dfrac{1}{2} intlimits {cos 2x } , dx =\\= dfrac{1}{2} (x+5)^{2}sin 2x +dfrac{1}{2}(x+5)cos 2x - dfrac{1}{4}sin 2x + C$

Ответ: $dfrac{1}{2} (x+5)^{2}sin 2x +dfrac{1}{2}(x+5)cos 2x - dfrac{1}{4}sin 2x + C$