вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах. Задание 4.6
Ответы на вопрос
4.6) Уравнение вида r = dcos(φ) задаёт окружность диаметра d с центром в точке (d/2); 0).
Если центр окружности расположен на прямой перпендикулярной полярной оси и проходящей через полюс, то уравнение принимает вид r = dsin(φ) задаёт окружность диаметра d с центром в точке (0; d/2).
В нашем случае первая кривая - это окружность радиусом (√3/2) с центром в точке ((√3/2); 0).
Вторая кривая - это окружность радиусом (1/2) с центром в точке
(0; (1/2)). Заданная площадь - это сумма двух сегментов в этих окружностях. Находим их площади по разности сектора и треугольника.
Находим расстояние между центрами окружностей.
L = √((1/2)² + (√3/2)²) = √((1/4) + (3/4)) = 1.
У этих окружностей общая хорда АВ по точкам пересечения.
Так как центральные углы в сумме равны 180 градусов, то у острого угла косинус с плюсом, у тупого - с минусом.
Применим теорему косинусов из условия равенства хорды АВ для треугольников О1АВ и О2АВ.
(1/2)² + (1/2)² - 2*(1/2)*(1/2)*cosα = (√3/2)² + (√3/2)² + 2*(√3/2)*(√3/2)*cos(α).
0,25 + 0,25 - 0,5*cosα = (3/4) + (3/4) + (3/2)*cosα.
2cosα = 1.
Отсюда cosα = 1/2, а угол α = 60 градусов.
Второй угол равен 180 - 60 = 120 градусов.
Длина АВ равна радиусу первой окружности : АВ = (√3/2) (углы по 60 градусов в треугольнике О1АВ)
Находим площади секторов.
S1 = (πr²α/360) =(π*(3/4)*60°)/360° = (π/8) ≈ 0,39270 кв.ед.
S2 = (πr²α/360) =(π*(1/4)*120°)/360° = (π/12) ≈ 0,26180 кв.ед.
Зная длины сторон треугольников О1АВ и О2АВ находим их площади по формуле Герона.
Длины сторон заданы . Периметр Р = 2,5980.
АВ (с) ВС (а) АС (в) Полупериметр р = 1,2990.
0,866025 0,866025 0,866025 Площадь S = 0,32476 кв.ед.
Длины сторон заданы . Периметр Р =1,8660.
АВ (с) ВС (а) АС (в) Полупериметр р = 0,9330.
0,5 0,5 0,866025 Площадь S = 0,10825.
Получаем ответ.
S = (0,39270 - 0,32476) + (0,26180 - 0,10825) = 0,22149 кв.ед.
Первый рисунок дан в прямоугольной системе координат, второй - в полярной.
