Question

Вычислить площадь четырёх угольного пика с вершинами А(3;1),В(4:6),С(6;3) и D (5:-2)

Answer 1

Ответ:

S(ABCD) = 13

Пошаговое объяснение:

Определим вид четырехугольника.

Найдем длины его сторон:

AB = $\sqrt{(4-3)^2+(6-1)^2}$ = $\sqrt{26}$

BC = $\sqrt{(6-4)^2+(3-6)^2}$ = $\sqrt{13}$

CD = $\sqrt{(5-6)^2+(-2-3)^2}$ = $\sqrt{26}$

DA =  $\sqrt{(5-3)^2+(-2-1)^2}$ = $\sqrt{13}$

(используется формула расстояния между двумя точками)

У четырехугольника две пары равных сторон, значит, это  параллелограмм(по признаку параллелограмма)

Для наглядности изобразим параллелограмм ABCD на координатной плоскости.

Площадь параллелограмма можно посчитать через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S(ABCD) = h*a

Примем AB = a, тогда осталось найти высоту, проведенную к стороне AB. Эта высота равна расстоянию от точки C до прямой AB. Значит, можно посчитать высоту, используя формулу расстояния от точки до прямой.

Задаем уравнение прямой AB по двум точкам:

$\frac{x-x(A)}{x(B)-x(A)}$ = $\frac{y-y(A)}{y(B)-y(A)}$

$\frac{x-3}{4-3}$ = $\frac{y-1}{6-1}$

5x - 15 = y - 1

y = 5x - 14 - получили уравнение прямой AB

Запишем уравнение в виде Ax + By + C = 0

5x - y - 14 = 0 (то есть A = 5, B = -1, C = -14)

С(x₀; y₀) = C(6;3) ,   x₀ = 6,  y₀ = 3

h = $\frac{|5*6 - 3 - 14|}{\sqrt{5^2+(-1)^2} }$ = 13/$\sqrt{26}$

S(ABCD) = $\sqrt{26}$ * (13/$\sqrt{26}$) = 13