Question

Вычислить определенный интеграл: $intlimits^pi_0 {frac{dx}{3+2cosx}} ,$ Напишите подробное решение

Answer 1

$displaystyle intlimits^pi_0frac{dx}{3+2cosx}=intlimits^pi_0frac{2dt}{1+t^2}*frac{1+t^2}{t^2+5}=2sqrt5intlimits^infty_0frac{dfrac{t}{sqrt5}}{frac{t^2}{5}+1}= lim_{btoinfty}frac{2}{sqrt5}arctgfrac{t}{sqrt{5}}|^b_0=\=frac{2}{sqrt5}lim_{btoinfty}(arctgfrac{b}{sqrt5})=frac{pi}{sqrt5}\t=tgfrac{x}{2}=>x=2arctgt;dx=frac{2dt}{1+t^2}\cosx=frac{1-t^2}{1+t^2};2cosx+3=frac{t^2+5}{1+t^2}$