Question

Вычислить определенный интеграл: $intlimits^pi_0 {frac{dx}{3+cosx}} ,$
Напишите подробное решение

Answer 1

делаем универсальную тригонометрическую подстановку:

$begin{vmatrix} tgfrac{x}{2}=t \ \ cosx=frac{1-t^2}{1+t^2} \\ dx=frac{2dt}{1+t^2} \ \t_1=tgfrac{0}{2}=0 \ \ t_2=tgfrac{pi}{2}rightarrow infty end{vmatrix}$

$intlimits^pi_0 frac{dx}{3+cosx} =intlimits^infty_0 frac{1}{3+frac{1-t^2}{1+t^2}} *frac{2dt}{1+t^2}= intlimits^infty_0 frac{2dt}{3(1+t^2)+1-t^2}=intlimits^infty_0 frac{2dt}{3+3t^2+1-t^2} = \ \ =intlimits^infty_0 frac{2dt}{2t^2+4}=intlimits^infty_0 frac{2dt}{2(t^2+2)}=intlimits^infty_0 frac{dt}{t^2+(sqrt{2})^2}= frac{1}{sqrt{2}} lim_{b to infty} arctgfrac{t}{sqrt{2}} |^b_0=$

$=frac{1}{sqrt{2}} lim_{b to infty} (arctgfrac{b}{sqrt{2}} -arctg0) |^b_0= frac{1}{sqrt{2}}*arctg infty =frac{1}{sqrt{2}}*frac{pi}{2}=frac{pi}{2sqrt{2}} \ \ OTBET: frac{pi}{2sqrt{2}}$